Question

如圖，已知多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，它是由一個長方體ABCD-A'B'C'D'切割而成，這個長方體的高為b，底面是邊長為a的正方形，其中頂點A₁，B₁，C₁，D₁均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點．
（1）若多面體面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA₁的中點，求證：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求該多面體的體積；
（3）當a，b滿足什么條件時AD₁⊥DB₁，并證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）連接AC，BD交于O點，
∵E為AA₁的中點，O為AC的中點，
∴在△AA₁C中，OE為△AA₁C的中位線，
∴OE∥A₁C，
∵OE?平面A₁C₁C，A₁C?平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C；
（2）多面體表面共包括10個面，補全長方體ABCD-A'B'C'D'，則知多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁體積為：
=V_{ABCD-A′B′C′D′}-4
=4×4×2-4×××2×2×2
=，
（3）易知CD⊥平面ADD₁，D₁B₁∥DC，D₁B₁，OC確定平面CDD₁B₁，
∵AD₁?平面ADD₁，
∴CD⊥AD₁，若AD₁⊥DB₁，
∵DB₁∩CD=D，
∴AD₁⊥平面CDD₁B₁，
∵DD₁?平面CDD₁B₁，
∴AD₁⊥DD₁，取AD中點M，
則D₁M∥A'A，且D₁M=A'A，
∴在RtADD₁中，2D₁M=AD，即a=2b
即：當a=2b時，AD₁⊥DB₁．
分析：（1）連接AC，BD交于O點，由題意可知，OE為△AA₁C的中位線，由線面平行的判定定理可證OE∥平面A₁C₁C；
（2）可補全長方體ABCD-A'B'C'D'，利用長方體的體積減去四個三棱錐（以A為頂點，A^′A₁D₁等為底面）的體積即可得答案；
（3）CD⊥平面ADD₁，可知CD⊥AD₁，若AD₁⊥DB₁，AD₁⊥平面CDD₁B₁，從而有AD₁⊥DD₁，取AD中點M，在RtADD₁中，2D₁M=AD，即可得到a=2b．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查組合幾何體的體積問題，補全長方體是解決問題（2）（3）的關鍵，考查學生分析問題、轉化問題與解決問題的能力，屬于難題．