Question

洛薩•科拉茨（Lothar Collatz，1910.7.6-1990.9.26）是德國數學家，他在1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數n，如果n是偶數，就將它減半（即

n

2

）；如果n是奇數，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1．如初始正整數為6，按照上述變換規則，我們得到一個數列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．對科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前誰也不能證明，更不能否定．現在請你研究：如果對正整數n（首項）按照上述規則施行變換（注：1可以多次出現）后的第八項為1，則n的所有可能的取值為

{2，3，16，20，21，128}

．

Answer 1

分析：利用第八項為1出發，按照規則，逆向逐項即可求出n的所有可能的取值．

解答：解：如果正整數n按照上述規則施行變換后的第八項為1，
則變換中的第7項一定是2，變換中的第6項一定是4；變換中的第5項可能是1，也可能是8；變換中的第4項可能是2，也可是16，
變換中的第4項是2時，變換中的第3項是4，變換中的第2項是1或8，變換中的第1項是2或16
變換中的第4項是16時，變換中的第3項是32或5，變換中的第2項是64或108，變換中的第1項是128，21或20，3
則n的所有可能的取值為2，3，16，20，21，128．
故答案為：{2，3，16，20，21，128}．

點評：本題主要考查歸納推理的應用，利用變換規則，進行逆向驗證是解決本題的關鍵，考查學生的推理能力．