Question

【題目】如圖，三棱柱中，側棱垂直于底面， ， ， 是棱的中點.

（Ⅰ）證明：平面⊥平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（I）易證得平面,再由面面垂直的判定定理即可證得平面平面；(II)設棱錐的體積為,易求得，三棱術的體積為,于是得,從而可得答案.

試題解析： （I）由題意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，

∴DC1⊥BC．

由題設知∠A1DC1=∠ADC=45°，

∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，

∴DC1⊥平面BDC，又DC1平面BDC1，

∴平面BDC1⊥平面BDC；

（II）設棱錐B﹣DACC1的體積為V1，AC=1，由題意得V1=××1×1=，

又三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=1，

∴（V﹣V1）：V1=1：1，

∴平面BDC1分此棱柱兩部分體積的比為1：1．