Question

【題目】若函數g（x）滿足g（g（x））=n（n∈N）有n+3個解，則稱函數g（x）為“復合n+3解”函數．已知函數f（x）= （其中e是自然對數的底數，e=2.71828…，k∈R），且函數f（x）為“復合5解”函數，則k的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（﹣e，e）
C.（﹣1，1）
D.（0，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數f（x）為“復合5解“， ∴f（f（x））=2，有5個解，
設t=f（x），
∴f（t）=2，
∵當x＞0時，f（x）= ，
∴f（x）= ，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x＞1時，f′（x）＞0，
函數f（x）單調遞增，
∴f（x）min=f（1）=1，
∴t≥1，
∴f（t）=2在[1，+∞）有2個解，
當x≤0時，f（x）=kx+3，函數f（x）恒過點（0，3），
當k≤0時，f（x）≥f（0）=3，
∴t≥3
∵f（3）= ＞2，
∴f（t）=2在[3，+∞）上無解，
當k＞0時，f（x）≤f（0）=3，
∴f（t）=2，在（0，3]上有2個解，在（∞，0]上有1個解，
綜上所述f（f（x））=2在k＞0時，有5個解，
故選：D