Question

設數(shù)列{a_n}是公比大小于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）設c_n=log₂a_n+1，數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項和為T_n，是否存在正整數(shù)m，使得T_n＜對于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I）設數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），則∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數(shù)列，
∴
∴
解得
∴等比數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1；
（II）=log₂a_n+1=n，∴，∴
∴T_n==
∴T_n＜對于n∈N^*恒成立，只需m（m+1）≥
∴m≤-或m≥
∴正整數(shù)m的最小值為1．
分析：（I）設數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），利用S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構成等差數(shù)列，建立方程組，求得首項與公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式a；
（II）先求通項，再利用裂項法求和，進而解不等式，即可求得正整數(shù)m的最小值．
點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列的求和，考查恒成立問題，正確求通項與數(shù)列的和是關鍵．