Question

【題目】將數列的前項分成兩部分，且兩部分的項數分別是，若兩部分和相等，則稱數列的前項的和能夠進行等和分割.

（1）若，試寫出數列的前項和所有等和分割；

（2）求證：等差數列的前項的和能夠進行等和分割；

（3）若數列的通項公式為：，且數列的前項的和能夠進行等和分割，求所有滿足條件的.

Answer 1

【答案】（1）或； （2）見解析； （3）或.

【解析】

（1）直接利用數列的通項公式分別計算出前四項的大小，再進行等和分割，即可求解；

（2）根據等差數列的性質可以得到，進而可以得出前項與后項的和相等；

（3）根據數列的通項公式求出前n項和，分別討論或時滿足等和分割條件的結果.

（1）由題意，數列，

可得，

則或.

（2）由數列為等差數列，所以，

將上述個兩式子分成兩部分，可得其和是相等的，

所以等差數列的前項的和能夠進行等和分割.

（3）數列的通項公式為：，且數列的前項的和能夠進行等和分割，

可得為偶數，所以或，

當時，由（2）可知，數列可以進行等和分割；

當時，可首先考慮，

則可分割成兩部分，所以，

即時，前項能進行等和分割，

當時，前項為，

由（2）可得能分成等和的兩部分，

分別把兩部分進行加入，可得兩部分和相等，

即或.