Question

【題目】如圖，已知是橢圓的一個頂點，的短軸是圓的直徑，直線，過點P且互相垂直，交橢圓于另一點D，交圓于A，B兩點

Ⅰ求橢圓的標準方程；

Ⅱ求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

Ⅰ由題意可得，，然后求解橢圓的標準方程．

Ⅱ因為直線，過點P且互相垂直，可設：，：，求出圓心O到直線的距離以及AB，直線與圓O有兩個交點，推出，聯立，轉化求解PD的距離，求出三角形的面積，通過二次函數的性質求解面積的最大值．

Ⅰ由題意是橢圓的一個頂點，的短軸是圓的直徑，

可得，，

則橢圓的標準方程為．

Ⅱ因為直線，過點P且互相垂直，可設：，：，

圓心O到直線的距離，

．

直線與圓O有兩個交點，，所以，

又由，可得．

．

所以

．

令，，則，

，

當，即時，有最大值為．