Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜ ）的部分圖象如圖所示．

（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）=f（x﹣ ）﹣f（x+ ）的單調遞增區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖象可知，周期T=2（ ﹣ ）=π，∴ω= =2

∵點（ ，0）在函數圖象上，∴Asin（2× +φ）=0

∴sin（ +φ）=0，∴ +φ=π+kπ，即φ=kπ+ ，k∈z

∵0＜φ＜

∴φ=

∵點（0，1）在函數圖象上，∴Asin =1，A=2

∴函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+ ）

（2）解：g（x）=2sin[2（x﹣ ）+ ]﹣2sin[2（x+ ）+ ]=2sin2x﹣2sin（2x+ ）

=2sin2x﹣2（ sin2x+ cos2x）=sin2x﹣ cos2x

=2sin（2x﹣ ）

由﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ，k∈z

得kπ﹣ ≤x≤kπ+

∴函數g（x）=f（x﹣ ）﹣f（x+ ）的單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]k∈z

【解析】（1）先利用函數圖象求此函數的周期，從而計算得ω的值，再將點（ ，0）和（0，1）代入解析式，分別解得φ和A的值，最后寫出函數解析式即可；（2）先利用三角變換公式將函數g（x）的解析式化為y=Asin（ωx+φ）型函數，再將內層函數看做整體，置于外層函數即正弦函數的單調增區間上，即可解得函數g（x）的單調增區間