Question

【題目】已知函數x3x2﹣2x（a∈R）.

（1）當a=3時，求函數的單調遞減區間；

（2）若對于任意x∈都有成立，求實數a的取值范圍；

（3）若過點可作函數圖象的三條不同切線，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，1）和（2，+∞）；（2）（﹣1，8）；（3）（2，+∞）.

【解析】

（1）當a=3時，，得=﹣x2+3x﹣2，則由0求解.

（2）由，得，根據對于任意x∈[1，+∞）都有2（a﹣1）成立，則轉化為，對于任意x∈[1，+∞）都有[]max2（a﹣1）.因為，再利用二次函數的圖象和性質求解.

（3）設點是函數y=f（x）圖象上的切點，過點P的切線方程為. 根據點在切線上，整理得.，根據過點可作函數y=f（x）圖象的三條不同切線，則方程有三個不同的實數解，再令，要求函數y=g（t）與t軸有三個不同的交點即可.

（1）當a=3時，，得=﹣x2+3x﹣2.

因為0，得x1或x2，

所以函數f（x）單調遞減區間為（﹣∞，1）和（2，+∞）.

（2）由，得，

因為對于任意x∈[1，+∞）都有2（a﹣1）成立，

所以問題轉化為，對于任意x∈[1，+∞）都有[]max2（a﹣1）.

因為，其圖象開口向下，對稱軸為.

①當時，即a2時，f'（x）在[1，+∞）上單調遞減，

所以max==a﹣3，

由a﹣32（a﹣1），得a﹣1，此時﹣1a2.

②當時，即a2時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，

由，得0a8，此時2a8.

綜上①②可得，實數a的取值范圍為（﹣1，8）.

（3）設點是函數y=f（x）圖象上的切點，

則過點P的切線的斜率為k==﹣t2+at﹣2，

所以過點P的切線方程為.

因為點在切線上，

所以，

即.

若過點可作函數y=f（x）圖象的三條不同切線，

則方程有三個不同的實數解.

令，則函數y=g（t）與t軸有三個不同的交點.

令=2t2﹣at=0，解得t=0或.

因為，，

所以必須，即a2.

所以實數a的取值范圍為（2，+∞）.