Question

【題目】在跳臺邊緣固定一個半徑為R的半圓形光滑柱面，一根不可伸長的細繩兩端分別系物體A和B，且，如圖甲所示，現從圖示位置開始，由靜止釋放B物體。

（1）試證明A物體在到達圓柱面的最高點前，就離開圓柱面。

（2）A物體離開圓柱面時，求轉過的角度變量與其他已知量之間的關系。

（3）若A物體剛好能達到最高點，求和的比值應滿足的關系。

Answer 1

【答案】（1）A不能到達最高點，應在到達最高點之前A就離開圓柱面。（2） （3）且A恰能通過最高點，需滿足，代入上式得：時，A在到達最高點之前脫離； 時，A可以順利通過最高點。

【解析】

（1）若A能到達最高點，則

，

又，

解得。

A在最高點時的向心力為

。

A在最高點實際能提供的最大向心力為，因為，

所以A不能到達最高點，應在到達最高點之前A就離開圓柱面。

（2）設A在某一位置處離開柱面，如圖乙所示，則

，

。

A離開柱面時不受柱面作用力，只有重力的徑向分力提供向心力，所以

，

即有。

（3）若A能到達最高點，則

，

且A恰能通過最高點，需滿足，代入上式得

，

即時，A在到達最高點之前脫離；

時，A可以順利通過最高點。