Question

【題目】設(shè) ，已知定義在R上的函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有一個零點 ， 為 的導(dǎo)函數(shù). （Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè) ，函數(shù) ，求證： ；
（Ⅲ）求證：存在大于0的常數(shù) ，使得對于任意的正整數(shù) ，且 滿足 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）由 ，可得 ， 進(jìn)而可得 .令 ，解得 ，或 .
當(dāng)x變化時， 的變化情況如下表：

x
	+	-	+
	↗	↘	↗

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ， ，單調(diào)遞減區(qū)間是 .
（Ⅱ）證明：由 ，得 ，
.

（III）證明：對于任意的正整數(shù) ， ，且 ，
令 ，函數(shù) .
由（II）知，當(dāng) 時， 在區(qū)間 內(nèi)有零點；
當(dāng) 時， 在區(qū)間 內(nèi)有零點.

所以 .所以，只要取 ，就有 .
【解析】