Question

【題目】如圖所示，用折射率為的透明介質制成內外半徑分別為和的空心球殼，當一束平行光射向此球殼，經球殼外、內表面兩次折射后，能進入空心球殼的入射平行光束的橫截面積是多大？

Answer 1

【答案】

【解析】

根據對稱性可知所求光束的截面應是一個圓面；要求出這個圓的半徑，關鍵在于正確作出符合題意的光路圖.如圖所示，設入射光線為所求光束的臨界光線，作出其折射光線，入射角為；經球殼外表面折射后折射角為，折射光線、恰好在內表面點發生全反射，即等于臨界角.在中，由正弦定理得

，所以.

又，所以，所以.

進入空心球殼的入射平行光束的橫截面積為.

在處理幾何光學的問題時，我們希望讀者能夠明白，正確地畫出光的傳播示意圖和正確找到光路與元件間的幾何關聯，并熟練地處理這種關聯，是我們正確解決問題最為重要的法寶。在本題中，折入球殼內的光線能否折入球腔，則取決于光在內表面上是否發生全反射，找到并畫出其光路示意圖，其幾何關聯也就十分清晰了。全反射問題本身就是臨界問題，所以，這方面的試題也常常與極端思維與極值的計算相關聯。