Question

【題目】太空火箭（包括燃料）的初始質量為，從靜止起飛，向后噴出的氣體相對火箭的速度u為常量。任意時刻火箭速度（相對地球）為v時火箭的靜止質量。忽略引力的影響，試求比值與速度v之間的關系。

Answer 1

【答案】，

【解析】

本題以地球為參考系，取火箭噴氣的元過程，得到火箭靜質量的變化與速度變化的關系式，然后運用微元法求得與速度v之間的關系。

設某時刻火箭對地速度為，質量，靜質量，在的瞬時噴出氣體質量為，靜質量相應記作，火箭速度增加，由動量守恒關系得

。 ①

式中氣體對地速度由速度變換法則確定。整理①式并忽略高階無窮小量后得

。 ②

而噴出的氣體質量，為

。 ③

③式中因子

。

則。

將其代入②式有

。 ④

④式等號兩邊消去因子，并舍去高階無窮小量，整理可得

，

即。

將此式等價變形為

。

現令，，

則有。

當時，，，

故有，。

。

注意到初時，則有

，。

同理可得，

。

由所設得。

于是，本題所求的物理規律為

，。