Question

【題目】如圖所示，豎直的光滑墻面上有和兩個釘子，二者處于同一水平高度，間距為，有一原長為、勁度系數為的輕橡皮筋，一端由釘固定，另一端系有一質量為的小球，其中為重力加速度，釘子和小球都可視為質點，小球和任何物體碰撞都是完全非彈性碰撞而且不發生粘連.現將小球水平向右拉伸到與釘距離為的點，釘恰好處于橡皮筋下面并始終與之光滑接觸.初始時刻小球獲得大小為、方向豎直向下的速度，試確定此后小球沿豎直方向的速度為零的時刻.

Answer 1

【答案】

【解析】

以釘為坐標原點建坐標系，如圖所示.小球在被釋放后受到本身重力和橡皮筋的彈力兩個力的作用.設小球相對于原點（即釘）的位置由位矢表示，則彈力可表示為

. ①

小球的運動方程為坐標系下分解為

， ②

. ③

定義方向新坐標，③式可改寫為

. ④

由②和④式知小球在水平和豎直方向都做簡諧振動，其振動方程可表示為

， ⑤

. ⑥

利用參考圓可得到小球速度的表達式：

， ⑦

. ⑧

將如下初始條件

， ⑨

， ⑩

，

代入⑤至⑧式，可解得振幅和及位相和.再利用，上述振動方程和速度表達式可用已知量表示為

，

，

，

.

由式可求出小球速度沿方向分量第一次為零的時刻，即，其中

.

此后，如果小球沿方向的振動沒有中斷，當小球沿方向的振動到達最大振幅處時，式右端便等于零.然而，按式右端等于零所求出的其他時刻并不是滿足題意的解.因為在按式求出的豎直速度等于零的第二個時刻之前，小球將和釘發生碰撞，碰撞時刻為

.

此刻，按和兩式可知

，

.

這恰好是釘的位置.這樣，小球將在時和釘發生完全非彈性碰撞，碰撞后小球速度為零；由于碰撞過程時間極短，時刻就是小球速度沿方向分量第二次為零的時刻.碰撞后小球并不和釘粘連，所以小球將沿方向做一維的簡諧振動，由④式可知此振動周期為

.

每經過半個振動周期，都會出現速度為零的情況（此時自然有）.這樣，除和式確定的前兩個特定時刻之外，每當

時，小球速度都為零，因而其沿方向的速度分量也為零.

本題是第29屆全國高中物理競賽決賽試題.

振動問題由于較為容易地構造出綜合模型，因此不論是復賽還是決賽，歷來都是命題的熱點區域.

在平時的訓練中，對于正交的方向上的振動，我們討論較多的是平衡位置處于一點的情況，本題的命題人別出心裁地構造了一個正交兩方向上振動的平衡位置不在一點的模型.雖然我們曾分別討論過類似于本題中水平方向與豎直的振動情形，但將它們合在一起進行討論，至少在此題之前，可能不曾有過，但對于優秀的高中生而言，只要真正領會了振動的合成，本題的處理也不過是情境復雜一點、運算復雜一些而已.

額外說明一點：近年的高中物理競賽，不論是復賽還是決賽，對學生的運算能力的要求越來越高，運算量大是一種常態，沒有過硬的運算能力，很難沖出重圍.