Question

【題目】將焦距的凸透鏡從正中切去寬度為a的小部分，如圖（a），再將剩下兩半黏接在一起，構(gòu)成一個(gè)“黏合透鏡”，見圖（b）。圖中，在黏合透鏡一側(cè)的中心軸線上距鏡20cm處，置一波長(zhǎng)的單色點(diǎn)光源S，另一側(cè)，垂直于中心軸線放置屏幕，見圖（c）。屏幕上出現(xiàn)干涉條紋，條紋間距，試問：

(1)切去部分的寬度a是多少？

(2)為獲得最多的干涉條紋，屏幕應(yīng)離透鏡多遠(yuǎn)？

Answer 1

【答案】(1) ,(2)

【解析】

(1)首先討論黏合透鏡的上半個(gè)透鏡的成像。在圖中OO是黏合透鏡的中心軸線，在OO上方用實(shí)線畫出了上半個(gè)透鏡，在OO下方未畫下半個(gè)透鏡，而是補(bǔ)足了未切割前整個(gè)透鏡的其余部分，用虛線表示。整個(gè)透鏡的光軸為。

半個(gè)透鏡的成像規(guī)律應(yīng)與完整的透像相同。現(xiàn)在物點(diǎn)（即光源）S在黏合透鏡的中心軸線上，即在

圖中透鏡的光軸上方處，離透鏡光心的水平距離正好是透鏡的焦距。根據(jù)幾何光學(xué)，光源S發(fā)出的光線，經(jīng)透鏡光心的水平距離正好是透鏡的焦距。根據(jù)幾何光學(xué)，光源S發(fā)出的光線，經(jīng)透鏡折射后成為一束平行光束，其傳播方向稍偏向下方，與光軸（對(duì)OO也是一樣）成角為。當(dāng)透鏡完整時(shí)光束的寬度為透鏡直徑透鏡直徑。對(duì)于上半個(gè)透就，光束寬度為。

同理，S所發(fā)的光，經(jīng)下半個(gè)透鏡折射后，形成稍偏向上方的平行光束，與軸成角，寬度也是。

于是，在透鏡右側(cè)，成為夾角為的兩束平行光束的干涉問題（見圖），圖中的兩平行光束的重疊區(qū)（用陰影表示）即為干涉區(qū)。為作圖清楚起見，特別是圖中的角，均遠(yuǎn)較實(shí)際角度為大。

圖示的是兩束平行光的干涉情況，其中是和上圖中的相對(duì)應(yīng)的。圖中實(shí)線和虛線分別表示某一時(shí)刻的波峰平面和波谷平面。在垂直于中心軸線屏幕上，A、B、C表示相長(zhǎng)干涉的亮紋位置，D、E表示相消干涉的暗紋位置，相鄰波峰平面之間的垂直距離是波長(zhǎng)λ。故干涉條紋間距滿足。

在很小的情況下，上式成為。

所以透鏡切去的寬度為

,

，果然是一個(gè)很小的角度。

(2)由以上的求解過程可知，干涉條紋間距Δx屏幕離透鏡L的距離無關(guān)，這正是兩束平行光干涉的特點(diǎn)。但屏幕必須位于兩束光的相干疊加區(qū)才行。圖中以陰影菱形部分表示這一相干疊加區(qū)。因?yàn)橛?/span>1式知條紋是等距的，顯然當(dāng)屏幕位于PQ處可獲得最多的干涉條紋，而PQ平面到透鏡L的距離

。