高考調研衡水重點中學新教材同步學案高中數學人教版新高考
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例4 (1)集合{a，a2}中，實數a的取值范圍是____.
(2)已知A={a-2，2a2+5a，12}，且-3∈A，求實數a的值.
答案：(1)a≠0且a≠1
(2)a=-1
(1)由集合元素的互異性可得a≠a2，即a2 - a ≠ 0，a(a - 1) ≠ 0，解得a≠0且a≠1。
(2)因為-3∈A，所以分兩種情況：
①若a - 2 = -3，則a = -1，此時2a2 + 5a = 2×(-1)2 + 5×(-1)=2 - 5=-3，集合A={-3，-3，12}，不滿足互異性，舍去。
②若2a2 + 5a = -3，則2a2 + 5a + 3 = 0，(2a + 3)(a + 1)=0，解得a=-1或a=-3/2。a=-1時，由①知不滿足互異性，舍去；a=-3/2時，a - 2=-3/2 - 2=-7/2，集合A={-7/2，-3，12}，滿足互異性，所以a=-3/2。
思考題4 (1)已知集合A中含有兩個元素：1和a2，則實數a的取值范圍是____.
(2)已知集合A={0，1，x}，若x2∈A，求實數x的值.
(3)已知集合A={x，y}，B={2，2x}，如果A，B表示同一個集合，求實數x，y的值.
答案：(1)a≠±1
(2)x=-1
(3)x=2,y=4或x=0,y=2
(1)由集合元素的互異性可得a2≠1，解得a≠±1。
(2)因為x2∈A，所以x2=0或x2=1或x2=x。
①x2=0，x=0，集合A={0，1，0}，不滿足互異性，舍去。
②x2=1，x=1或x=-1，x=1時，集合A={0，1，1}，不滿足互異性，舍去；x=-1時，集合A={0，1，-1}，滿足互異性。
③x2=x，x=0或x=1，由①②知均不滿足互異性，舍去。綜上，x=-1。
(3)因為A，B是同一個集合，所以元素相同。則有兩種情況：
①x=2，y=2x，此時y=4，集合A={2，4}，B={2，4}，滿足題意。
②x=2x，y=2，解得x=0，y=2，集合A={0，2}，B={2，0}，滿足題意。
綜上，x=2，y=4或x=0，y=2。
1.判斷對錯(對的打“√”，錯的打“×”).
(1)在一個集合中不能找到兩個相同的元素.（
√
）
(2)集合{2，3}與集合{3，2}表示同一個集合.（
√
）
(3)由方程$x^{2}-4=0$和x - 2=0的根組成的集合中有3個元素.（
×
）
(4)由形如x=3k + 1(k∈$\mathbb{Z}$)的數組成集合A，則1，-1，-11這三個元素都屬于集合A.（
×
）
答案：(1)√
(2)√
(3)×
(4)×
(1)集合元素具有互異性，所以正確。
(2)集合元素具有無序性，所以正確。
(3)方程$x^{2}-4=0$的根為x=2和x=-2，方程x - 2=0的根為x=2，組成的集合為{-2，2}，有2個元素，所以錯誤。
(4)當k=0時，x=1；當k=-1時，x=-2?{-1}；當k=-4時，x=3×(-4)+1=-11，所以-1不屬于集合A，錯誤。
2.【多選題】給出下列關系中正確的有（
AD
）
A.$\frac{1}{3}∈\mathbb{R}$
B.$\sqrt{3}∈\mathbb{Q}$
C.-3?$\mathbb{Z}$
D.$-\sqrt{3}?\mathbb{N}$
答案：AD
A.$\frac{1}{3}$是實數，所以$\frac{1}{3}∈\mathbb{R}$正確。
B.$\sqrt{3}$是無理數，不屬于有理數集$\mathbb{Q}$，所以錯誤。
C.-3是整數，屬于整數集$\mathbb{Z}$，所以錯誤。
D.$-\sqrt{3}$不是自然數，不屬于自然數集$\mathbb{N}$，所以正確。
3.若集合A={-x，|x|}，則x應滿足（
A
）
A.x＞0
B.x＜0
C.x=0
D.x≤0
答案：A
若x＞0，則-x＜0，|x|=x＞0，集合A={-x，x}，有兩個元素；若x=0，則集合A={0，0}，不滿足互異性；若x＜0，則-x＞0，|x|=-x＞0，集合A={-x，-x}，不滿足互異性。所以x＞0，選A。
4.“young”中的字母構成一個集合，該集合中的元素有
5
個；“book”中的字母構成一個集合，該集合中的元素有
3
個.
答案：5；3
“young”中的字母為y，o，u，n，g，共5個不同字母，所以元素有5個；“book”中的字母為b，o，k，共3個不同字母，所以元素有3個。
5.已知集合A中含有兩個元素：a - 3和2a - 1，a∈$\mathbb{R}$.
(1)若-3∈A，試求實數a的值；
(2)若a∈A，試求實數a的值.
答案：(1)a=0或a=-1
(2)a=1
(1)因為-3∈A，所以a - 3=-3或2a - 1=-3。
當a - 3=-3時，a=0，此時2a - 1=-1，集合A={-3，-1}，滿足題意；
當2a - 1=-3時，2a=-2，a=-1，此時a - 3=-4，集合A={-4，-3}，滿足題意。
所以a=0或a=-1。
(2)因為a∈A，所以a=a - 3或a=2a - 1。
a=a - 3時，0=-3，無解；
a=2a - 1時，a=1，此時集合A={1 - 3，2×1 - 1}={-2，1}，滿足題意，所以a=1。
