同步練習江蘇高中數學蘇教版
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17. (15分)已知集合$A = \{x|x^2 + 4x = 0\}$，$B = \{x|x^2 + 2(a + 1)x + a^2 - 1 = 0\}$。若$A \cap B = B$，求實數$a$的取值范圍。
答案：解：$A = \{0, -4\}$，$A \cap B = B$即$B \subseteq A$。
分情況討論：
① $B = \varnothing$：$\Delta = 4(a + 1)^2 - 4(a^2 - 1) = 8a + 8 ＜ 0$，解得$a ＜ -1$；
② $B = \{0\}$：$\begin{cases} 0 + 0 = -2(a + 1) \\ 0×0 = a^2 - 1 \end{cases}$，解得$a = -1$；
③ $B = \{-4\}$：$\begin{cases} -4 + (-4) = -2(a + 1) \\ (-4)×(-4) = a^2 - 1 \end{cases}$，無解；
④ $B = \{0, -4\}$：$\begin{cases} 0 + (-4) = -2(a + 1) \\ 0×(-4) = a^2 - 1 \end{cases}$，解得$a = 1$。
綜上，$a$的取值范圍為$a \leq -1$或$a = 1$。
18. (17分)已知全集為$\mathbf{R}$，集合$A = \{x|x ＜ -3$或$x ＞ 1\}$，$B = \{x|a - 1 ＜ x ＜ 2a + 3\}$。
(1) 若$a = -1$，求$(\complement_{\mathbf{R}} A) \cap B$；
(2) 從①$A \cup B = A$，②$A \cap B = B$，③$(\complement_{\mathbf{R}} A) \cap B = \varnothing$這三個條件中任選一個作為已知條件，求實數$a$的取值范圍。
注：如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分。
答案：解：(1) $a = -1$時，$B = \{-2 ＜ x ＜ 1\}$，$\complement_{\mathbf{R}} A = \{x|-3 \leq x \leq 1\}$，則$(\complement_{\mathbf{R}} A) \cap B = (-2,1)$。
(2) 選①$A \cup B = A$，即$B \subseteq A$。
當$B = \varnothing$時，$a - 1 \geq 2a + 3$，解得$a \leq -4$；
當$B \neq \varnothing$時，$\begin{cases} 2a + 3 \leq -3 \\ a - 1 ＜ 2a + 3 \end{cases}$或$\begin{cases} a - 1 \geq 1 \\ a - 1 ＜ 2a + 3 \end{cases}$，解得$-4 ＜ a \leq -3$或$a \geq 2$。
綜上，$a \leq -3$或$a \geq 2$。
19. (17分)已知集合$A = \{x|0 \leq x \leq 2\}$，$B = \{x|a \leq x \leq a + 3\}$。
(1) 若$(\complement_{\mathbf{R}} A) \cup B = \mathbf{R}$，求實數$a$的取值范圍；
(2) 是否存在$a$，使$(\complement_{\mathbf{R}} A) \cup B = \mathbf{R}$且$A \cap B = \varnothing$？
答案：解：(1) $\complement_{\mathbf{R}} A = \{x|x ＜ 0$或$x ＞ 2\}$，要使$(\complement_{\mathbf{R}} A) \cup B = \mathbf{R}$，則$B$需覆蓋$[0,2]$，即$\begin{cases} a \leq 0 \\ a + 3 \geq 2 \end{cases}$，解得$-1 \leq a \leq 0$。
(2) 假設存在$a$，則$A \cap B = \varnothing$，即$a + 3 ＜ 0$或$a ＞ 2$。
由(1)知$-1 \leq a \leq 0$，兩者無交集，故不存在這樣的$a$。
