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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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【過程評價】4.用描述法表示下列集合：
(1)絕對值小于1000的偶數組成的集合；
(2)平面直角坐標系中x軸上的點組成的集合.
答案：(1)$\{x| |x| ＜ 1000,x = 2k,k\in\mathbb{Z}\}$；(2)$\{(x,y)|y = 0,x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$
解析：(1)絕對值小于1000即|x| ＜ 1000，偶數可表示為x=2k,k∈Z，所以集合為$\{x| |x| ＜ 1000,x = 2k,k\in\mathbb{Z}\}$。
(2)x軸上的點縱坐標為0，所以集合為$\{(x,y)|y = 0,x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$。
【例3】(1)若集合A中沒有元素，求a的取值范圍；
(2)若集合A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來.
答案：(1)$a ＞ \frac{9}{8}$；(2)a=0時元素為$\frac{2}{3}$；$a = \frac{9}{8}$時元素為$\frac{4}{3}$
解析：集合A是方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$的實數根組成的集合。
(1)A中沒有元素，即方程無實根。當a=0時，方程為-3x + 2=0，有實根，舍去；當a≠0時，$\Delta=9 - 8a ＜ 0$，解得$a ＞ \frac{9}{8}$。
(2)A中只有一個元素，即方程有唯一實根。當a=0時，方程為-3x + 2=0，根為$x = \frac{2}{3}$；當a≠0時，$\Delta=9 - 8a=0$，$a = \frac{9}{8}$，根為$x = \frac{3}{2a}=\frac{4}{3}$。
【過程評價】5.已知集合A中含有兩個元素，其中一個元素是1，求a的值
2
，并求出集合A
{1,2}
.
答案：a=2，集合A={1,2}
解析：因為1∈A，所以將x=1代入方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$得$a - 3 + 2=0$，a=1，此時方程為$x^2 - 3x + 2=0$，根為1和2，集合A={1,2}（原題目可能為“已知集合A中有兩個元素，其中一個是1”，按此解法）。
6.已知集合$A = \{x|ax^2 + x = 0\}$有兩個元素，求a的取值范圍
a≠0
，并把這兩個元素寫出來
0和$-\frac{1}{a}$
.
答案：a≠0，元素為0和$-\frac{1}{a}$
解析：集合A有兩個元素，即方程$ax^2 + x = 0$有兩個不等實根。a=0時，方程為x=0，只有一個元素，舍去；a≠0時，方程$x(ax + 1)=0$，根為0和$-\frac{1}{a}$，所以a≠0，元素為0和$-\frac{1}{a}$。
7.已知集合$A = \{x|x^2 + (a - 1)x + b = 0\}$，$B = \{x|x^2 - (3 - a)x - a + b - 2 = 0\}$，若A={2}，求集合B.
答案：{1,5}
解析：因為集合A={2}，所以方程$x^2 + (a - 1)x + b = 0$有唯一實根2，即判別式$\Delta=(a - 1)^2 - 4b=0$，且$2^2 + 2(a - 1) + b=0$。
聯立方程：
1. $(a - 1)^2 - 4b=0$
2. $4 + 2a - 2 + b=0$，即$2a + b + 2=0$，解得$b=-2a - 2$
將$b=-2a - 2$代入①：$(a - 1)^2 - 4(-2a - 2)=0$，即$a^2 - 2a + 1 + 8a + 8=0$，$a^2 + 6a + 9=0$，$(a + 3)^2=0$，解得$a=-3$，則$b=-2×(-3)-2=4$。
將$a=-3$，$b=4$代入集合B的方程：$x^2 - (3 - (-3))x - (-3) + 4 - 2=x^2 - 6x + 5=0$，即$(x - 1)(x - 5)=0$，解得$x=1$或$x=5$，所以集合B={1,5}。
