2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學必修第一冊人教版
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【例2】已知命題“對于任意$x\in\mathbf{R},f(x)=x^{2}+ax + 1$的值都不小于0”是假命題，求實數(shù)$ a $的取值范圍.
答案：$a ＜ - 2$或$a＞2$
解析：原命題是全稱量詞命題，其為假命題，則其否定“存在$x\in\mathbf{R},f(x)=x^{2}+ax + 1 ＜ 0$”是真命題。所以二次函數(shù)$f(x)=x^{2}+ax + 1$的圖像與$x$軸有兩個交點，判別式$\Delta=a^{2}-4＞0$，解得$a ＜ - 2$或$a＞2$。
【過程評價】2.變式練 若將本例中的“假命題”改為“真命題”，則實數(shù)$ a $的取值范圍是
$-2\leq a\leq2$
.
答案：$-2\leq a\leq2$
解析：原命題為真命題，則二次函數(shù)$f(x)=x^{2}+ax + 1$的圖像與$x$軸有兩個交點或相切，判別式$\Delta=a^{2}-4\leq0$，解得$-2\leq a\leq2$。
【過程評價】3.同類練 若命題“對于$x＞0,f(x)=x^{2}+ax + 1$的值都不小于0”是假命題，則實數(shù)$ a $的取值范圍是
$a ＜ - 2$
.
答案：$a ＜ - 2$
解析：原命題的否定“存在$x＞0,f(x)=x^{2}+ax + 1 ＜ 0$”是真命題。二次函數(shù)$f(x)=x^{2}+ax + 1$開口向上，對稱軸為$x=-\frac{a}{2}$。當$-\frac{a}{2}\leq0$即$a\geq0$時，$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，$f(0)=1＞0$，無$x＞0$使$f(x)＜0$；當$-\frac{a}{2}＞0$即$a ＜ 0$時，需$f(-\frac{a}{2})=\frac{a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{2}+1=1-\frac{a^{2}}{4}＜0$，解得$a ＜ - 2$（$a＞2$舍去），所以$a ＜ - 2$。
【過程評價】4.拔高練 若命題“對任意實數(shù)$ m $，關于$ x $的方程$x^{2}+x + m = 0$必有實數(shù)根”為假命題，則實數(shù)$ m $的取值范圍是
$m＞\frac{1}{4}$
.
答案：$m＞\frac{1}{4}$
解析：原命題的否定“存在實數(shù)$m$，關于$x$的方程$x^{2}+x + m = 0$沒有實數(shù)根”是真命題。方程無實數(shù)根，則判別式$\Delta=1 - 4m ＜ 0$，解得$m＞\frac{1}{4}$。
【基礎鞏固】1.命題“每一個三角形的三個頂點共圓”的否定是（
A
）
A.存在一個三角形，它的三個頂點不共圓
B.存在一個三角形，它的三個頂點共圓
C.所有三角形的三個頂點共圓
D.所有三角形的三個頂點都不共圓
答案：A
解析：全稱量詞命題“每一個三角形的三個頂點共圓”的否定是存在量詞命題“存在一個三角形，它的三個頂點不共圓”。
【基礎鞏固】2.命題“$\forall x\in\mathbf{R},ax + b\leq0$”的否定是（
B
）
A.$\exists x\in\mathbf{R},ax + b\leq0$
B.$\exists x\in\mathbf{R},ax + b＞0$
C.$\forall x\in\mathbf{R},ax + b＞0$
D.$\forall x\in\mathbf{R},ax + b\geq0$
答案：B
解析：全稱量詞命題“$\forall x\in\mathbf{R},ax + b\leq0$”的否定是存在量詞命題“$\exists x\in\mathbf{R},ax + b＞0$”。
