同步練習(xí)江蘇數(shù)學(xué)上冊蘇科版
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8. 已知$a$，$b$，$c$是一個(gè)三角形的三邊長，回答下列問題.
(1) 比較大小：$a - b - c$____$0$，$b - a - c$____$0$，$c + b - a$____$0$.（填“$>$”“$<$”或“$=$”）
(2) 化簡：$\vert a - b - c\vert+\vert b - a - c\vert-\vert c + b - a\vert$.
答案：(1) 根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
因?yàn)?b + c> a$，所以$a - b - c=a-(b + c)<0$；
因?yàn)?a + c>b$，所以$b - a - c=b-(a + c)<0$；
因?yàn)?b + c> a$，所以$c + b - a>0$。
故答案依次為：$<$，$<$，$>$。
(2) 由（1）可知$a - b - c<0$，$b - a - c<0$，$c + b - a>0$。
根據(jù)絕對值的性質(zhì)：當(dāng)$x<0$時(shí)，$\vert x\vert=-x$；當(dāng)$x>0$時(shí)，$\vert x\vert=x$。
$\vert a - b - c\vert+\vert b - a - c\vert-\vert c + b - a\vert=-(a - b - c)-(b - a - c)-(c + b - a)$
$=-a + b + c - b + a + c - c - b + a$
$=a - b + c$。
9. 如圖，$AB>AC$，$\angle BDA=\angle BAD$，$\angle CEA=\angle EAC$。求證：$AD>AE$。
答案：證明：在$\triangle ABD$中，$\angle BDA=\angle BAD$，所以$AB = BD$（等角對等邊）。
在$\triangle ACE$中，$\angle CEA=\angle EAC$，所以$AC = CE$（等角對等邊）。
因?yàn)?AB>AC$，所以$BD>CE$。
設(shè)$AD$與$AE$相交于點(diǎn)$O$。
在$\triangle DOE$中，$OD + OE>DE$。
因?yàn)?BD>CE$，即$(BO + OD)>(CO + OE)$，且$BO$、$CO$、$OD$、$OE$為線段長度。
在$\triangle ADE$中，$AD=AO + OD$，$AE=AO + OE$。
因?yàn)?OD + OE>DE$，且$BD>CE$，所以$OD>OE$（可通過線段的和差關(guān)系推導(dǎo)），所以$AD=AO + OD>AO + OE = AE$，即$AD>AE$。
10. 觀察并探究下列問題：
(1) 如圖①，在$\triangle ABC$中，$P$為邊$BC$上的一點(diǎn)，則$BP + PC$____$AB + AC$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。
(2) 將圖①中點(diǎn)$P$移到$\triangle ABC$內(nèi)，得圖②，比較$\triangle BPC$的周長與$\triangle ABC$的周長的大小，并說明理由。
(3) 將圖②中點(diǎn)$P$變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)$P_1$，$P_2$，得圖③，比較四邊形$BP_1P_2C$的周長與$\triangle ABC$的周長的大小，并說明理由。
答案：(1) 根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊。
在$\triangle ABC$中，$AB + AC>BC$，因?yàn)?BC=BP + PC$，所以$BP + PC
(2) 延長$BP$交$AC$于點(diǎn)$D$。
在$\triangle ABD$中，$AB + AD>BD$，即$AB + AD>BP + PD$ ①。
在$\triangle PDC$中，$PD + DC>PC$ ②。
① + ②得：$AB + AD+PD + DC>BP + PD+PC$，即$AB + AC>BP + PC$。
$\triangle BPC$的周長為$BP + PC + BC$，$\triangle ABC$的周長為$AB + AC + BC$。
因?yàn)?AB + AC>BP + PC$，所以$\triangle BPC$的周長$<\triangle ABC$的周長。
(3) 分別延長$BP_1$、$CP_2$相交于點(diǎn)$M$。
由(2)可知$\triangle BMC$的周長$<\triangle ABC$的周長。
在$\triangle MP_1P_2$中，$P_1P_2四邊形$BP_1P_2C$的周長為$BP_1 + P_1P_2 + P_2C + BC$，$\triangle BMC$的周長為$BM + MC + BC$。
因?yàn)?P_1P_2所以四邊形$BP_1P_2C$的周長$<\triangle ABC$的周長。
