新課程能力培養九年級數學北師大版
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1. 方程$(3x + 1)(x - 2)-4 = 0$的一般形式是______，它的二次項是______，一次項是______，常數項是______。
答案：先將方程$(3x + 1)(x - 2)-4 = 0$展開：$(3x + 1)(x - 2)-4=3x^2-6x+x - 2-4=3x^2-5x - 6 = 0$。一般形式是$3x^{2}-5x - 6 = 0$，二次項是$3x^{2}$，一次項是$-5x$，常數項是$-6$。
2. 兩個連續的偶數的積是228，如果設較小的一個偶數為$x$，則另一個偶數可以表示為______，根據題意可列出方程為______。
答案：因為兩個數是連續偶數，設較小的一個偶數為$x$，則另一個偶數可以表示為$x + 2$，根據題意可列出方程為$x(x + 2)=228$。
3. 若方程$(k + 2)x^{2}-7x - 9 = 0$是關于$x$的一元二次方程，則$k$滿足______。
答案：一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，在方程$(k + 2)x^{2}-7x - 9 = 0$中，$a = k + 2$，因為是一元二次方程，所以$k+2\neq0$，即$k\neq - 2$。
4. 已知下列方程：$(3x - 2)(x + 5)=2$，$2x^{2}+y + 4 = 0$，$\frac{3}{x}+x = 1$，$x^{2}y+x^{2}-1 = xy + 1$，$x^{2}-7 = 0$，$4x^{2}=x$，$z^{2}+2z=-3$，其中一元二次方程的個數為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
答案：$(3x - 2)(x + 5)=2$展開得$3x^{2}+15x-2x - 10 = 2$，即$3x^{2}+13x - 12 = 0$，是一元二次方程；$2x^{2}+y + 4 = 0$含有兩個未知數$x$和$y$，不是一元二次方程；$\frac{3}{x}+x = 1$是分式方程，不是一元二次方程；$x^{2}y+x^{2}-1 = xy + 1$含有兩個未知數$x$和$y$，不是一元二次方程；$x^{2}-7 = 0$是一元二次方程；$4x^{2}=x$即$4x^{2}-x = 0$，是一元二次方程；$z^{2}+2z=-3$含有未知數$z$，不是關于$x$的方程。所以一元二次方程有$(3x - 2)(x + 5)=2$，$x^{2}-7 = 0$，$4x^{2}=x$，共3個，答案是B。
5. 關于$x$的一元二次方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化為一般形式后不含一次項，則$m$的值為（ ）A. 0 B. $\pm3$ C. 3 D. -3
答案：將方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化為一般形式：$(m - 3)x^{2}+(m^{2}-9)x - 5 = 0$，因為不含一次項，所以$m^{2}-9 = 0$且$m - 3\neq0$。由$m^{2}-9 = 0$得$m=\pm3$，又$m - 3\neq0$即$m\neq3$，所以$m=-3$，答案是D。
6. 某商品經過兩次連續降價，每件售價由原來的55元降到了35元. 設平均每次降價的百分率為$x$，則下列方程中正確的是（ ）A. $55(1 + x)^{2}=35$ B. $35(1 + x)^{2}=55$ C. $55(1 - x)^{2}=35$ D. $35(1 - x)^{2}=55$
答案：第一次降價后的價格是$55(1 - x)$，第二次降價是在第一次降價后完成的，所以第二次降價后的價格是$55(1 - x)(1 - x)=55(1 - x)^{2}$，已知兩次降價后價格為35元，所以方程為$55(1 - x)^{2}=35$，答案是C。
7. 將下面表格中的方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項、一次項的系數和常數項。
答案：|一元二次方程|一般形式|二次項系數|一次項系數|常數項|
|----|----|----|----|----|
|$3x = 5-2x^{2}$| $2x^{2}+3x - 5 = 0$|2|3|-5|
|$(2x - 1)^{2}+4x = 7$，先展開$(2x - 1)^{2}+4x = 4x^{2}-4x + 1+4x = 7$，即$4x^{2}-6 = 0$| $4x^{2}+0x - 6 = 0$|4|0|-6|
|$\frac{1}{2}x(x + 1)=3(x - 2)+1$，展開$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x = 3x-6 + 1$，即$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x + 5 = 0$，兩邊同乘2得$x^{2}-5x + 10 = 0$| $x^{2}-5x + 10 = 0$|1|-5|10|
8. 關于$x$的方程$(k + 3)(k - 1)x^{2}+(k - 1)x + 5 = 0$，$k$為何值時，方程是一元二次方程？
答案：方程$(k + 3)(k - 1)x^{2}+(k - 1)x + 5 = 0$是一元二次方程，則二次項系數不為0，即$(k + 3)(k - 1)\neq0$。$(k + 3)(k - 1)\neq0$時，$k+3\neq0$且$k - 1\neq0$，解得$k\neq - 3$且$k\neq1$。所以當$k\neq - 3$且$k\neq1$時，方程是一元二次方程。
