新課程能力培養九年級數學北師大版
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14. 如圖，點$B(3,3)$在函數$y = \frac{k}{x}(x>0)$的圖象上，點$A$和點$C$分別在$x$軸、$y$軸的正半軸上，且點$A$，$B$，$C$，$D$構成的四邊形為正方形。
(1)求反比例函數$y = \frac{k}{x}$的表達式。
(2)求點$A$的坐標。
答案：(1) 因為點$B(3,3)$在函數$y=\frac{k}{x}(x > 0)$的圖象上，將$B(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，可得$3=\frac{k}{3}$，解得$k = 9$，所以反比例函數表達式為$y=\frac{9}{x}(x>0)$。
(2) 過點$B$作$BE\perp x$軸于點$E$，因為$B(3,3)$，所以$BE = 3$，$OE = 3$。
因為四邊形$ABCD$是正方形，所以$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB = BC$，又因為$\angle CBO+\angle ABE = 90^{\circ}$，$\angle BAE+\angle ABE = 90^{\circ}$，所以$\angle CBO=\angle BAE$，且$\angle BOA=\angle AEB = 90^{\circ}$，$AB = BC$，則$\triangle CBO\cong\triangle BAE(AAS)$。設$OA=a$，則$AE=3 - a$，$BO=3 - a$，在$Rt\triangle BOA$中，$OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$，又因為$AB^{2}=BE^{2}+AE^{2}=9+(3 - a)^{2}$，$OA=a$，$OB=3 - a$，所以$a^{2}+(3 - a)^{2}=9+(3 - a)^{2}$，解得$a = 1$，所以點$A$的坐標為$(1,0)$。
15. 如圖，直線$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$交$x$軸于點$M$，矩形$OMAE$的面積為$4$，反比例函數$y=\frac{k}{x}(x>0)$的圖象經過點$A$，$EA$的延長線交直線$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$于點$D$。
(1)求反比例函數的表達式。
(2)若點$B$在$x$軸上，且$AB = AD$，求點$B$的坐標。
答案：(1) 在直線$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$中，令$y = 0$，則$0=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$，解得$x = 1$，所以$M(1,0)$，$OM = 1$。因為矩形$OMAE$的面積為$4$，所以$OM\times AE=4$，則$AE = 4$，所以$A(1,4)$。因為反比例函數$y=\frac{k}{x}(x>0)$的圖象經過點$A$，將$A(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 4$，所以反比例函數表達式為$y=\frac{4}{x}(x>0)$。
(2) 因為$EA$的延長線交直線$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$于點$D$，$A(1,4)$，把$y = 4$代入$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$，得$4=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$，$20 = 4x-4$，$4x=24$，解得$x = 6$，所以$D(6,4)$，則$AD=6 - 1=5$。因為$AB = AD = 5$，$A(1,4)$，設$B(x,0)$，根據兩點間距離公式$AB=\sqrt{(x - 1)^{2}+4^{2}}=5$，$(x - 1)^{2}+16 = 25$，$(x - 1)^{2}=9$，$x - 1=\pm3$，解得$x = 4$或$x=-2$，所以點$B$的坐標為$(4,0)$或$(-2,0)$。
16. 如圖，一次函數$y=kx + b(k\neq0)$的圖象與反比例函數$y=\frac{m^{2}-3m}{x}(m\neq0且m\neq3)$的圖象在第一象限交于點$A$，$B$，且該一次函數的圖象與$y$軸正半軸交于點$C$，過$A$，$B$分別作$y$軸的垂線，垂足分別為$E$，$D$。已知$A(4,1)$。
(1)求$m$的值和反比例函數的表達式。
(2)若點$M$為一次函數圖象上的動點，求$OM$長度的最小值。
答案：(1) 因為點$A(4,1)$在反比例函數$y=\frac{m^{2}-3m}{x}$的圖象上，將$A(4,1)$代入$y=\frac{m^{2}-3m}{x}$，可得$1=\frac{m^{2}-3m}{4}$，$m^{2}-3m - 4=0$，$(m - 4)(m + 1)=0$，解得$m = 4$或$m=-1$。因為$m\neq0$且$m\neq3$，所以$m = 4$或$m=-1$都滿足條件。當$m = 4$時，$m^{2}-3m=4^{2}-3\times4 = 4$；當$m=-1$時，$m^{2}-3m=(-1)^{2}-3\times(-1)=1 + 3 = 4$，所以反比例函數表達式為$y=\frac{4}{x}$。
(2) 把$A(4,1)$代入一次函數$y=kx + b$，得$4k + b=1$。設$B\left(x_{0},\frac{4}{x_{0}}\right)$，因為$AE\perp y$軸，$BD\perp y$軸，$CE = 4CD$，$A(4,1)$，所以$CE = 4 - y_{C}$，$CD=y_{C}-\frac{4}{x_{0}}$，則$4 - y_{C}=4\left(y_{C}-\frac{4}{x_{0}}\right)$。又因為$B\left(x_{0},\frac{4}{x_{0}}\right)$在$y=kx + b$上，所以$kx_{0}+b=\frac{4}{x_{0}}$，聯立$4k + b=1$可求出$k=-\frac{1}{4}$，$b = 2$，一次函數表達式為$y=-\frac{1}{4}x + 2$。根據點到直線距離公式，$O$到直線$y=-\frac{1}{4}x + 2$（即$x + 4y-8 = 0$）的距離$d=\frac{\vert0 + 0 - 8\vert}{\sqrt{1^{2}+4^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{17}}=\frac{8\sqrt{17}}{17}$，所以$OM$長度的最小值為$\frac{8\sqrt{17}}{17}$。
