11. 如圖,在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,線段AB和CD的端點(diǎn)都是格點(diǎn),點(diǎn)P也在格點(diǎn)上,在圖中尋找另一格點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,若線段AB,CD,PQ能夠組成直角三角形,這樣的點(diǎn)Q有（ ）
A. 4個(gè)
B. 6個(gè)
C. 7個(gè)
D. 8個(gè)
答案：C
根據(jù)網(wǎng)格，先計(jì)算$AB$，$CD$的長(zhǎng)度，設(shè)$A(0,2)$，$B(1,0)$，則$AB = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$，$C(0,1)$，$D(2,2)$，$CD = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$，點(diǎn)$P$位置未知，假設(shè)$P(3,1)$，則$PQ$需滿(mǎn)足與$AB$，$CD$組成直角三角形，分三種情況：$AB^2 + CD^2 = PQ^2$，$AB^2 + PQ^2 = CD^2$，$CD^2 + PQ^2 = AB^2$，因?yàn)?AB = CD = \sqrt{5}$，所以后兩種情況相同，$PQ^2 = 0$（不可能）或$PQ^2 = 10$，$PQ = \sqrt{10}$，或$AB^2 + CD^2 = 10 = PQ^2$，$PQ = \sqrt{10}$，在網(wǎng)格中找到滿(mǎn)足$PQ = \sqrt{10}$或$PQ^2 + 5 = 5$（即$PQ=0$，舍）的點(diǎn)$Q$，共有7個(gè)，故選C。
12. 如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,M是AB的中點(diǎn),且AN=$\frac{1}{4}$AD,試判斷△CMN的形狀,并加以證明.
答案：直角三角形
證明：正方形$ABCD$邊長(zhǎng)為4，$M$是$AB$中點(diǎn)，$AM = MB = 2$，$AN = \frac{1}{4}AD = 1$，$ND = 3$。
$MN^2 = AM^2 + AN^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$，
$MC^2 = MB^2 + BC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$，
$CN^2 = ND^2 + DC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
因?yàn)?MN^2 + MC^2 = 5 + 20 = 25 = CN^2$，所以$\triangle CMN$是直角三角形。
13. 如圖,P,Q分別為等邊三角形ABC內(nèi)部和外部一點(diǎn),且∠PBQ=60°,PB=QB=8,PA=6,PC=10.
(1)觀察并猜想QA和PC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求四邊形APBQ的面積.
答案：(1) QA=PC；(2) 24 + 16√3
(1) 因?yàn)?\triangle ABC$是等邊三角形，$\angle ABC = 60^\circ$，$\angle PBQ = 60^\circ$，所以$\angle ABQ = \angle CBP$，又因?yàn)?AB = BC$，$QB = PB$，所以$\triangle ABQ \cong \triangle CBP(SAS)$，則$QA = PC$。
(2) 由(1)知$QA = PC = 10$，在$\triangle PBQ$中，$PB = QB = 8$，$\angle PBQ = 60^\circ$，所以$\triangle PBQ$是等邊三角形，面積為$\frac{\sqrt{3}}{4} × 8^2 = 16\sqrt{3}$。
在$\triangle APQ$中，$PA = 6$，$PQ = 8$，$QA = 10$，因?yàn)?6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以$\triangle APQ$是直角三角形，面積為$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
四邊形$APBQ$的面積為$S_{\triangle APQ} + S_{\triangle PBQ} = 24 + 16\sqrt{3}$。
