學習力提升八年級數學浙教版
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12. 如圖，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 2\angle B$，$AB = 2AC$。求證：$\triangle ABC$是直角三角形。
答案：證明：作$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于$D$，取$AB$中點$E$，連接$DE$。因為$\angle BAC = 2\angle B$，所以$\angle BAD=\angle B$，則$AD = BD$。$E$是$AB$中點，所以$DE\perp AB$。因為$AB = 2AC$，所以$AE = AC$。又$AD = AD$，$\angle EAD=\angle CAD$，所以$\triangle AED\cong\triangle ACD(SAS)$，則$\angle C=\angle AED = 90^\circ$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
13. 已知：在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^\circ$，$AB = AC$，$D$為$BC$的中點。
（1）如圖，$E$，$F$分別是$AB$，$AC$上的點，且$BE = AF$，求證：$\triangle DEF$為等腰直角三角形。
（2）若$E$，$F$分別為$AB$，$CA$延長線上的點，仍有$BE = AF$，其他條件不變，那么$\triangle DEF$是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論。
答案：（1）證明：連接$AD$。因為$\angle A = 90^\circ$，$AB = AC$，$D$是$BC$中點，所以$AD = BD = CD$，$\angle BAD=\angle CAD = 45^\circ$，$\angle ADB = 90^\circ$。因為$BE = AF$，$AB = AC$，所以$AE = CF$。在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$AD = CD$，$\angle EAD=\angle C = 45^\circ$，$AE = CF$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CDF(SAS)$，則$DE = DF$，$\angle ADE=\angle CDF$。因為$\angle CDF+\angle ADF = 90^\circ$，所以$\angle ADE+\angle ADF = 90^\circ$，即$\angle EDF = 90^\circ$，所以$\triangle DEF$是等腰直角三角形。
（2）是等腰直角三角形。
證明：連接$AD$。同理$AD = BD = CD$，$\angle BAD=\angle CAD = 45^\circ$，所以$\angle DBE=\angle DAF = 135^\circ$。因為$BE = AF$，$BD = AD$，所以$\triangle DBE\cong\triangle DAF(SAS)$，則$DE = DF$，$\angle BDE=\angle ADF$。因為$\angle BDE+\angle ADE = 90^\circ$，所以$\angle ADF+\angle ADE = 90^\circ$，即$\angle EDF = 90^\circ$，所以$\triangle DEF$是等腰直角三角形。
