學習力提升八年級數學浙教版
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11.如圖，BE，CD是$\triangle ABC$的中線.求證：$\triangle ADE$的面積是$\triangle ABC$的面積的$\frac{1}{4}$.
答案：證明：因為CD是$\triangle ABC$的中線，所以AD=$\frac{1}{2}$AC，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。因為BE是$\triangle ABC$的中線，所以AE=$\frac{1}{2}$AB，$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
12.$\triangle ABC$中，$\angle A=x^{\circ}$.
(1)如圖1，PB，PC分別平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，求$\angle BPC$（用x表示）.
(2)如圖2，D在BC延長線上，PB，PC分別平分$\angle ABC$，$\angle ACD$.求$\angle BPC$（用x表示）.
(3)由(1)、(2)，你能歸納總結出什么結論？
答案：(1)$90^{\circ}+\frac{1}{2}x^{\circ}$
解析：$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-x^{\circ}$，因為PB，PC分別平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，所以$\angle PBC+\angle PCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}x^{\circ}$，$\angle BPC=180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=90^{\circ}+\frac{1}{2}x^{\circ}$。
(2)$\frac{1}{2}x^{\circ}$
解析：$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$，因為PC平分$\angle ACD$，所以$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle ACD=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)$。因為PB平分$\angle ABC$，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$。$\angle BPC=\angle PCD-\angle PBC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}x^{\circ}$。
(3)三角形兩內角平分線相交所成角等于$90^{\circ}$加上第三角的一半；三角形一內角平分線與另一外角平分線相交所成角等于第三角的一半。
