學習力提升八年級數學浙教版
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1.如圖,在△ABC中,AB=AC,若△ABC的頂角等于30°,則這個等腰三角形的兩個底角的度數是______.
答案：75°
因為$AB = AC$，所以△ABC是等腰三角形，頂角為$\angle A = 30^{\circ}$。
根據三角形內角和定理，底角$\angle B = \angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$。
2.已知等腰三角形的一個內角為30°,則另外兩個內角的度數分別是______.
答案：75°，75°或30°，120°
分兩種情況：
情況一：30°角為頂角，則底角為$\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$，另外兩個內角為75°，75°。
情況二：30°角為底角，則頂角為$180^{\circ}-30^{\circ}×2 = 120^{\circ}$，另外兩個內角為30°，120°。
3.已知等腰三角形的一個外角等于80°,則它的三個內角度數分別是______.
答案：100°，40°，40°
因為外角等于80°，所以與這個外角相鄰的內角為$180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$。
若100°為底角，則兩個底角和為$200^{\circ}\gt180^{\circ}$，不符合三角形內角和定理，所以100°只能為頂角。
則底角為$\frac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}$，三個內角度數分別為100°，40°，40°。
4.在△ABC中,AB=AC=BC,則∠B的度數是______.
答案：60°
因為$AB = AC = BC$，所以△ABC是等邊三角形，等邊三角形的三個內角都相等，且為60°，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
5.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分線,若∠ADB=93°,則∠A的度數是（ ）
A.31° B.56° C.62° D.72°
答案：C
設$\angle A = x$，因為$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-x}{2}$。
因為BD是$\angle ABC$的平分線，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{180^{\circ}-x}{4}$。
在△ABD中，$\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ}$，即$x+\frac{180^{\circ}-x}{4}+93^{\circ}=180^{\circ}$。
解方程：$4x + 180^{\circ}-x + 372^{\circ}=720^{\circ}$
$3x = 720^{\circ}-180^{\circ}-372^{\circ}=168^{\circ}$
$x = 56^{\circ}$，即$\angle A = 56^{\circ}$，答案選B（注：原解析計算有誤，正確答案應為B，此處按正確過程修正）。
6.如圖,一個等邊三角形紙板,剪去一個角后得到一個四邊形,則圖中∠α+∠β的度數是（ ）
A.180° B.240° C.300° D.360°
答案：B
等邊三角形每個內角為60°，剪去一個角后，剩下的四邊形內角和為360°。
原等邊三角形剪去一個角后，減少了一個60°的角，同時增加了兩個角$\angle\alpha$和$\angle\beta$，所以$\angle\alpha+\angle\beta=360^{\circ}-(180^{\circ}-60^{\circ})=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$。
7.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,點D是BC上任意一點,作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F,連結EF.
(1)求證:∠EDB=∠FDC.
(2)當點D是BC的中點時,求證:∠AEF=∠AFE.
答案：（1）因為$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
因為$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$\angle DEB=\angle DFC = 90^{\circ}$。
在△DEB和△DFC中，$\angle B=\angle C$，$\angle DEB=\angle DFC$，所以$\angle EDB=180^{\circ}-\angle B-\angle DEB$，$\angle FDC=180^{\circ}-\angle C-\angle DFC$，故$\angle EDB=\angle FDC$。
（2）因為D是BC中點，且$AB = AC$，所以AD平分$\angle BAC$。
因為$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$DE = DF$。
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$AD = AD$，$DE = DF$，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），所以$AE = AF$，故$\angle AEF=\angle AFE$。
