學習力提升八年級數學浙教版
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14.已知等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成12 cm 和24 cm 兩部分,求該等腰三角形的腰長.
答案：16
設等腰三角形的腰長為$2x$cm，底邊長為$y$cm，中線長為$d$cm（$d$不影響周長分割，無需計算）。
因為中線將腰分為兩等長的線段，所以每段長為$x$cm。
分兩種情況討論：
情況一：$AB + AD=12$，$BC + CD=24$
即$2x + x=12$，$y + x=24$
由$2x + x=12$得$3x = 12$，解得$x = 4$
則腰長$2x=8$cm，底邊長$y=24 - x=24 - 4=20$cm
此時三角形三邊長為8cm，8cm，20cm
因為$8 + 8=16\lt20$，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，舍去。
情況二：$AB + AD=24$，$BC + CD=12$
即$2x + x=24$，$y + x=12$
由$2x + x=24$得$3x = 24$，解得$x = 8$
則腰長$2x = 16$cm，底邊長$y=12 - x=12 - 8=4$cm
此時三角形三邊長為16cm，16cm，4cm
因為$16+4=20\gt16$，$16 + 16=32\gt4$，滿足三角形三邊關系。
綜上，該等腰三角形的腰長為16cm。
15.如圖,在面積為3的銳角三角形ABC中,AB=AC=3,AD是∠BAC的平分線,點E,F分別是AB,AD上的動點,連結BF,EF,則BF+EF的最小值為
答案：2
因為$AB = AC$，$AD$是$\angle BAC$的平分線，所以$AD$垂直平分$BC$（等腰三角形三線合一），即點$B$與點$C$關于$AD$對稱。
作點$E$關于$AD$的對稱點$E'$，則$E'$在$AC$上，且$EF = E'F$，所以$BF+EF=BF + E'F$。
當$B$，$F$，$E'$三點共線，且$BE'\perp AC$時，$BF + E'F$取得最小值，即$BE'$的長（垂線段最短）。
因為$\triangle ABC$的面積為3，$AC = 3$，設$AC$邊上的高為$h$，則$\frac{1}{2}× AC× h=3$，即$\frac{1}{2}×3× h = 3$，解得$h = 2$。
所以$BF + EF$的最小值為2。
16.如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,請畫出以A為一個頂點,另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上,且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要畫出示意圖,并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數字3)
答案：（以下為示意圖描述，實際答題需畫出圖形并標注）
1. 以$A$為頂點，腰長為3，另一個頂點在$AB$邊上，第三個頂點在$AD$邊上：在$AB$上取點$E$，使$AE = 3$，在$AD$上取點$F$，使$AF=3$，連接$EF$，$\triangle AEF$是等腰直角三角形，$AE=AF=3$，標注$AE$和$AF$為3。
2. 以$A$為頂點，腰長為3，另一個頂點在$AB$邊上，第三個頂點在$BC$邊上：在$AB$上取點$E$，使$AE = 3$，以$A$為圓心，3為半徑畫弧交$BC$于點$F$，連接$AF$，$EF$，$\triangle AEF$中$AE=AF=3$，標注$AE$和$AF$為3。
3. 以$A$為頂點，腰長為3，另一個頂點在$AD$邊上，第三個頂點在$CD$邊上：在$AD$上取點$F$，使$AF = 3$，以$A$為圓心，3為半徑畫弧交$CD$于點$E$，連接$AE$，$EF$，$\triangle AEF$中$AF=AE=3$，標注$AF$和$AE$為3。
4. 以$A$為頂點，底邊長為3，另兩個頂點分別在$BC$和$CD$邊上：在$BC$上取點$E$，$CD$上取點$F$，使$AE=AF$，$EF = 3$，（具體位置可通過計算確定，此處略，示意圖中標注$EF = 3$）。
5. 以$A$為頂點，腰長為3，另一個頂點在$BC$邊上（非上述情況）：在$BC$上取點$E$，使$BE=\sqrt{3^{2}-4^{2}}$（此情況不存在，因為邊長為4，$AB = 4$，以$A$為圓心3為半徑在$BC$上的交點只有一個，即情況2），實際只有上述4種不同大小的等腰三角形（具體以標準作圖為準，此處按常見情況列舉）。
