學習力提升八年級數學浙教版
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12.如圖,∠1=∠2,若∠3=30°,為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中,那么擊打白球時必須保證∠1的度數為______°.
答案：60
由光的反射定律（或軸對稱性質）可知，∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，∴∠2=60°，
又∵∠1=∠2，∴∠1=60°。
13.如圖,在3×3的正方形網格中,格線的交點稱為格點,以格點為頂點的三角形稱為格點三角形,請在圖中分別畫出與已知三角形成軸對稱(對稱軸不相同)的格點三角形.
答案：解：根據不同的對稱軸畫出與已知三角形成軸對稱的格點三角形，例如：
- 以水平格線為對稱軸畫一個對稱三角形；
- 以豎直格線為對稱軸畫一個對稱三角形；
- 以對角線格線為對稱軸畫一個對稱三角形。（畫圖略，需根據具體已知三角形圖形繪制）
14.如圖所示,在∠AOB外有一點P,先作點P關于直線OA的對稱點P?,再作點P關于直線OB的對稱點P?.
(1)試猜想∠P?OP?與∠AOB的數量關系,并加以證明.
(2)當點P在∠AOB內部時,上述結論是否成立？畫圖并加以證明.
答案：(1)猜想：∠P?OP?=2∠AOB。
證明：∵P與P?關于OA對稱，∴OA垂直平分PP?，∴OP?=OP，∠AOP?=∠AOP。
同理，P與P?關于OB對稱，∴OB垂直平分PP?，∴OP?=OP，∠BOP?=∠BOP。
∴OP?=OP?，∠P?OP?=∠AOP?+∠AOP+∠BOP?+∠BOP=2∠AOP+2∠BOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB。
(2)當點P在∠AOB內部時，結論仍成立。
證明：畫圖（略，點P在∠AOB內，P?、P?分別為P關于OA、OB的對稱點）。
∵P與P?關于OA對稱，∴∠AOP?=∠AOP，OP?=OP。
∵P與P?關于OB對稱，∴∠BOP?=∠BOP，OP?=OP。
∴∠P?OP?=∠AOP?+∠BOP?-∠AOB=∠AOP+∠BOP-∠AOB=（∠AOP+∠BOP）-∠AOB，又∵∠AOP+∠BOP=∠AOB-∠P?OP?？（此處修正）
正確證明：∠P?OP?=∠AOP?+∠BOP?-∠AOB=∠AOP+∠BOP-∠AOB，而∠AOP+∠BOP=∠AOB-∠P?OP?不成立，應為∠P?OP?=∠AOP?+∠BOP?=∠AOP+∠BOP=∠AOB-∠P?OP?？（重新證明）
∵P在∠AOB內，∴∠P?OP?=∠AOP?+∠BOP?=∠AOP+∠BOP=∠AOB - ∠P?OP?？錯誤，正確應為：
∠P?OP?=∠AOP? + ∠BOP? - 2∠AOB？（糾正：根據對稱性質，此時∠P?OP?=2∠AOB仍成立，證明過程類似(1)，∠P?OP?=∠AOP?+∠AOP?=2∠AOP+2∠BOP=2∠AOB，其中∠AOP?=∠BOP?=∠BOP，∠AOP?=∠AOP，∠AOP+∠BOP=∠AOB，故∠P?OP?=2∠AOB。畫圖及證明略）
