學習力提升八年級數學浙教版
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12. 【概念學習】已知△ABC，點P為其內部一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC，△PAC中，如果存在一個三角形，其內角與△ABC的三個內角分別相等，那么就稱點P為△ABC的等角點。
【理解應用】（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應橫線內寫“真命題”；反之，則寫“假命題”。
①內角分別為30°，60°，90°的三角形存在等角點：______；
②任意的三角形都存在等角點：______。
（2）如圖①，點P是銳角△ABC的等角點，若∠BAC=∠PBC，探究圖①中，∠BPC，∠ABC，∠ACP之間的數量關系，并說明理由。
【解決問題】如圖②，在△ABC中，∠BAC＜∠ABC＜∠ACB，若△ABC的三個內角的角平分線的交點P是該三角形的等角點，求△ABC三個內角的度數。
答案：（1）①真命題；②假命題；
（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP，理由：∵∠BAC=∠PBC，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∴∠BPC=∠BAC+∠ACB-∠ACP=∠ABC+∠ACP；
（3）∠BAC=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°
解析：設∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，α＜β＜γ。P為角平分線交點，∠PAB=α/2，∠PBA=β/2，∠PBC=β/2，∠PCB=γ/2，∠PCA=α/2。由等角點定義，α=β/2，β=γ/2，α+β+γ=180°，解得α=45°，β=60°，γ=75°。
