南方新課堂金牌學(xué)案八年級數(shù)學(xué)人教版
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【問題探究】觀察圖1,填寫下表,并尋找規(guī)律:
多邊形的邊數(shù)
3
4
5
6
...
n
分成的三角形的個數(shù)
1
____
____
____
...
____
答案：2；3；4；n-2
(1)將一個四邊形進(jìn)行三角剖分,你有多少種剖分方法?
2種
五邊形呢?
5種
畫圖說明所有的三角剖分方法.
答案：四邊形2種，五邊形5種
解析：四邊形：從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引1條對角線，有2種剖分方法（連接不同對角線）；
五邊形：從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引2條對角線，有5種剖分方法（根據(jù)歐拉公式D?=5）。
(2)1751年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,1707—1783)向德國-俄國數(shù)學(xué)家哥德巴赫(Goldbach,1690—1764)提出了一個n邊形的三角剖分有多少種不同方法的問題，并歸納得出了n邊形的不同三角剖分方法數(shù)(D?)的公式。后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)并證明：當(dāng)n≥3時，$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n - 6}{n}(D_3 = 1)$。請你利用上述公式，驗證你前面得到的結(jié)果，并計算六邊形、七邊形的三角剖分方法數(shù)。六邊形
14
種，七邊形
42
種。
答案：六邊形14種，七邊形42種。
解析：已知$D_3=1$。
n=3時，$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3 - 6}{3}=\frac{6}{3}=2$，則$D_4=2×D_3=2×1=2$（驗證四邊形結(jié)果正確）。
n=4時，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4 - 6}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$，則$D_5=\frac{5}{2}×D_4=\frac{5}{2}×2=5$（驗證五邊形結(jié)果正確）。
n=5時，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5 - 6}{5}=\frac{14}{5}$，則$D_6=\frac{14}{5}×D_5=\frac{14}{5}×5=14$。
n=6時，$\frac{D_7}{D_6}=\frac{4×6 - 6}{6}=\frac{18}{6}=3$，則$D_7=3×D_6=3×14=42$。
