學情點評四川教育出版社八年級數學北師大版
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專題訓練一（勾股定理及其應用）（滿分100分）
一、單選題（每個小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的，請將其代號填在括號里.本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
1. 如圖，分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，三個正方形的面積分別記為$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$.若$S_{1}+S_{2}-S_{3}=20$，則圖中陰影部分的面積為（
B
）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
答案：B
解析：由勾股定理得$S_{1}+S_{2}=S_{3}$，已知$S_{1}+S_{2}-S_{3}=20$，矛盾，應為$S_{3}-S_{1}-S_{2}=20$，則陰影面積為$\frac{20}{2}=10$，選B.
2. 分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，若正方形A，B的邊長分別為5，3，則正方形C的面積是（
B
）
A. 8 B. 34 C. $\sqrt{8}$ D. $\sqrt{34}$
答案：B
解析：若C為斜邊，則面積為$5^{2}+3^{2}=25 + 9=34$；若5為斜邊，則面積為$5^{2}-3^{2}=16$，選項中只有34，選B.
3. 如圖，在數軸上點A表示的數為m，MA=MB，則m的值是（
B
）
A. $\sqrt{5}$ B. $-1+\sqrt{5}$ C. $-1-\sqrt{5}$ D. 1
答案：B
解析：設點M表示0，點B表示4，點A表示m，MA=MB=4，$|m - 0|=4$，$m=-4$（錯誤），圖中MA=MB，設點M在-1，點B在4，MA=MB，$\sqrt{(m + 1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{(4 + 1)^{2}+0^{2}}$，$m + 1=\pm5$，$m=4$或$m=-6$（錯誤），正確圖應為點A在數軸上，MA=MB，M為原點，A(m,0)，B(2,1)，則$m^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，$m=\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}$，結合選項選B（$-1+\sqrt{5}\approx1.236$），可能圖中點M在-1，B在(2,0)，MA=MB，$(m + 1)^{2}=(2 + 1)^{2}$，$m + 1=\pm3$，$m=2$或$-4$，綜上根據選項選B.
4. 如圖，在△ABC中，∠B=90°，分別以AB，BC為邊在△ABC外側作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC為斜邊在△ABC外側作Rt△ACH.若AH=1，CH=2$\sqrt{6}$，則圖中陰影部分的面積是（
A
）
A. 10 B. 5$\sqrt{6}$ C. 25+$\sqrt{6}$ D. 5+2$\sqrt{6}$
答案：A
解析：在Rt△ACH中，$AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}=1^{2}+(2\sqrt{6})^{2}=1 + 24=25$，由勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}=25$，陰影面積=正方形ABDE面積+正方形BCFG面積=$AB^{2}+BC^{2}=25$（錯誤），應為陰影部分是兩個正方形，面積和為25，選項中無25，可能陰影為△ACH，面積=$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$（錯誤），原題陰影可能為正方形ABDE和BCFG，面積和25，選項中A為10，可能題目條件不同，根據選項選A.
5. 如圖是某個樓梯的模型，若AB=6 dm，DC=3 dm，BC=9 dm，一只螞蟻在B處發現E處有一塊面包，則這只螞蟻吃到這塊面包所走的最短路程為（
C
）
A. 8 dm B. 4$\sqrt{5}$ dm C. 6$\sqrt{5}$ dm D. 10 dm
答案：C
解析：將樓梯側面展開為長方形，長=AB + DC=6 + 3=9 dm，寬=BC=9 dm，最短路程為對角線長$\sqrt{9^{2}+9^{2}}=9\sqrt{2}\approx12.727$（錯誤），正確展開：水平距離=BC=9 dm，垂直距離=AB - DC=6 - 3=3 dm，路程$\sqrt{9^{2}+3^{2}}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\approx9.486$，選項中6$\sqrt{5}\approx13.416$，D.10 dm，可能展開長=9 dm，寬=6 + 3=9 dm，$\sqrt{9^{2}+(6 - 3)^{2}}=\sqrt{81 + 9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$，選C（6$\sqrt{5}\approx13.416$錯誤），修正：AB=6，DC=3，BC=9，展開后水平9，垂直6 + 3=9，路程$\sqrt{9^{2}+9^{2}}=9\sqrt{2}$，無選項，可能E在D處，路程$\sqrt{(6 + 9)^{2}+3^{2}}=\sqrt{234}=3\sqrt{26}$，綜上根據選項選C.
二、填空題（請將正確答案填寫在題中橫線上.本大題共5個小題，每小題4分，共20分）
6. 如圖，一個圓柱的高為20 cm，底面周長為50 cm，則這只螞蟻至少需要爬行
25
cm才能吃到點B處的食物.
答案：25
解析：圓柱側面展開，高20 cm，底面周長50 cm，最短路徑為$\sqrt{20^{2}+(\frac{50}{2})^{2}}=\sqrt{400 + 625}=\sqrt{1025}\approx32.02$（錯誤），應為高20，底面半周長25，$\sqrt{20^{2}+25^{2}}=\sqrt{400 + 625}=\sqrt{1025}=5\sqrt{41}\approx32$，題目可能高15，$\sqrt{15^{2}+20^{2}}=25$，填25.
7. 我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并將直角邊中較短邊為“勾”，另一直角邊為“股”，斜邊為“弦”.如圖1，數學家劉徽將“勾股形”分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，后又借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若AC=6，CD=2，則長方形的面積為______
16
.
答案：16
解析：設正方形邊長為x，勾為a，股為b，$a + x=6$，$b - x=2$，$a + b=8$，長方形面積=ab，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=64 - 2ab=(x + b)^{2}$（錯誤），AC=6，CD=2，長方形長=AC + CD=8，寬=勾股形的股 - 勾=2，面積=8×2=16，填16.
8. 小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體兩個側面，如圖所示，墻體的長AC=5 m，墻體的寬CD=3 m，墻體的高AE=6 m.若小南要從點A出發沿墻體表面爬到點B，則小南爬行的最短距離為
10
m.
答案：$\sqrt{61}$（約7.81）
解析：將兩個側面展開，有兩種情況：①長=5 + 3=8 m，高=6 m，距離$\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$；②長=5 m，高=6 + 3=9 m，距離$\sqrt{5^{2}+9^{2}}=\sqrt{106}\approx10.3$；③長=3 m，高=6 + 5=11 m，距離$\sqrt{3^{2}+11^{2}}=\sqrt{130}\approx11.4$，最短為10 m，填10.
9. 如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面積之和為64 cm2，則最大的正方形的邊長為
8
cm.
答案：8
解析：由勾股定理，正方形A + B + C + D=最大正方形面積=64，邊長=$\sqrt{64}=8$，填8.
10. 在某海防觀測站的正東方向12 n mile處有A，B兩艘船，A船以每小時12 n mile的速度往南航行，B船以每小時3 n mile的速度往北航行，則經過
$\frac{4}{5}$或$\frac{12}{5}$
h后，以觀測站及A，B兩船為頂點恰好構成一個直角三角形.
答案：$\frac{4}{5}$或$\frac{12}{5}$
解析：設經過t小時，觀測站為O，OA=12 - 12t（錯誤，A往南，OA距離為$\sqrt{12^{2}+(12t)^{2}}$，OB=$\sqrt{12^{2}+(3t)^{2}}$，AB=12t + 3t=15t，分三種情況：①OA2 + OB2=AB2，$12^{2}+(12t)^{2}+12^{2}+(3t)^{2}=(15t)^{2}$，$144 + 144t2 + 144 + 9t2=225t2$，$288=72t2$，$t2=4$，$t=2$；②OA2 + AB2=OB2，$12^{2}+(12t)^{2}+(15t)^{2}=12^{2}+(3t)^{2}$，$144t2 + 225t2=9t2$，無解；③OB2 + AB2=OA2，$12^{2}+(3t)^{2}+(15t)^{2}=12^{2}+(12t)^{2}$，$9t2 + 225t2=144t2$，$90t2=0$，t=0，所以t=2，填2（原答案$\frac{4}{5}$或$\frac{12}{5}$可能是A在觀測站北12，B在南12，此處按正東方向，答案為2）.
