學習力提升七年級數學浙教版
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19.分類討論是一種重要的數學思想,比如要比較$ a $與$-a$的大小關系,我們可以分三種情況進行討論:①當$ a＞0 $時,$ a＞-a $;②當$ a=0 $時,$ a=-a $;③當$ a＜0 $時,$ a＜-a $.
(1)根據以上思想,請比較$ a $與$\frac{a}{3}$的大小關系;
(2)根據以上思想,請比較$ a $與$\frac{1}{a}$的大小關系.
答案：(1)當$a＞0$時，$a＞\frac{a}{3}$；當$a=0$時，$a=\frac{a}{3}$；當$a＜0$時，$a＜\frac{a}{3}$
解析：當$a＞0$時，兩邊同時除以$a$（正數）得$1＞\frac{1}{3}$，所以$a＞\frac{a}{3}$；當$a=0$時，$a=0$，$\frac{a}{3}=0$，所以$a=\frac{a}{3}$；當$a＜0$時，兩邊同時除以$a$（負數）得$1＜\frac{1}{3}$，所以$a＜\frac{a}{3}$。
(2)當$a＞1$時，$a＞\frac{1}{a}$；當$a=1$時，$a=\frac{1}{a}$；當$0＜a＜1$時，$a＜\frac{1}{a}$；當$-1＜a＜0$時，$a＞\frac{1}{a}$；當$a=-1$時，$a=\frac{1}{a}$；當$a＜-1$時，$a＜\frac{1}{a}$
解析：當$a＞0$時，若$a＞1$，則$a^2＞1$，即$a＞\frac{1}{a}$；若$a=1$，則$a=\frac{1}{a}=1$；若$0＜a＜1$，則$a^2＜1$，即$a＜\frac{1}{a}$。當$a＜0$時，若$-1＜a＜0$，則$a^2＜1$，兩邊除以$a$（負數）得$a＞\frac{1}{a}$；若$a=-1$，則$a=\frac{1}{a}=-1$；若$a＜-1$，則$a^2＞1$，兩邊除以$a$（負數）得$a＜\frac{1}{a}$。
