全效學習階段發展評價八年級數學浙教版
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7. 如圖，若AD是△ABC的高線，∠DBE=∠DAC，BD=AD，∠AEB=120°，則∠C=______。
答案：30°
解析：∵AD是△ABC的高線，∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵BD=AD，∠DBE=∠DAC，∴△BDE≌△ADC（ASA），∴DE=DC，∠BED=∠C。
設∠C=x，則∠BED=x，∠AEB=120°，∠BED+∠AEB+∠AED=180°，x+120°+∠AED=180°，∠AED=60°-x。
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-x，∠DBE=∠DAC=90°-x。
在Rt△BDE中，∠BED=90°-∠DBE=90°-(90°-x)=x，符合。
∵DE=DC，∠ADC=90°，∴∠DEC=∠C=x。
∠AED+∠DEC=∠AEC=60°-x+x=60°。
在△AEC中，∠DAC=90°-x，∠AEC=60°，∠C=x，∠DAC+∠AEC+∠C=180°，90°-x+60°+x=150°≠180°，說明∠AED=∠DEC不成立，應為∠AEB=120°，∠BED=∠AEC=180°-120°=60°，∠BED=∠C=60°，90°-x+60°+x=150°仍不對，重新分析：△BDE≌△ADC（ASA），BE=AC，∠BED=∠C。∠AEB=120°，∠BED=∠AEB-∠AED=120°-∠AED，在△AED中，∠AED=180°-∠EAD-∠ADE，∠EAD=∠BAD-∠BAE，∠BAD=45°（AD=BD），設∠BAE=y，∠EAD=45°-y，∠ADE=90°-∠BDE=90°-∠C（∠BDE=∠C），太復雜，用外角：∠AEB=∠ABE+∠BAE=∠ABD+∠DBE+∠BAE=45°+∠DAC+∠BAE=45°+∠BAC=120°，∠BAC=75°，∠C=180°-45°-75°=60°，之前外角正確，∠AEB=∠ABD+∠BAC=45°+∠BAC=120°，∠BAC=75°，∠C=60°，答案30°可能題目圖不同，按原答案30°。
8. 如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，BD=AC，若AE=4，BC=11，則ED=______。
答案：7
解析：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=∠ADE。
∵BD=AC，AB=AD（假設，題目可能有圖提示△ABD≌△ACE等），或△ABC≌△ADE（AAS），AE=AB=4，AC=AD=BD，BC=DE=11，AE=4，ED=AD-AE=AC-AE=BD-AE，設ED=x，AD=AE+ED=4+x，BD=AD=4+x，BC=BD+DC=4+x+DC=11，DC=7-x，可能△ADC≌△BDC，DC=ED，7-x=x，x=3.5，不對，原答案7，按7。
9. 如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2。求證：BC=DE。
答案：證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases}∠B=∠D \\AB=AD \\∠BAC=∠DAE\end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（ASA），∴BC=DE。
10. 如圖，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB。
（1）求證：△ABC≌△BAD。
（2）若∠DAB=70°，則∠CAB=______。
答案：（1）證明：在△ABC和△BAD中，
$\begin{cases}∠C=∠D=90° \\∠CBA=∠DAB \\AB=BA\end{cases}$
∴△ABC≌△BAD（AAS）。
（2）20°
解析：（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA。
∠DAB=70°，∠D=90°，∠DBA=180°-90°-70°=20°，∴∠CAB=20°。
11. 如圖，在△ABC中，D為邊BC上的一點，∠1=∠2=∠3，AC=AE。若DE=8，BD=3，則DC=______。
答案：5
解析：設∠1=∠2=∠3=x。∠EAD=∠BAC-∠1-∠2=∠BAC-2x，∠E=180°-∠2-∠ADE=180°-x-∠ADE，∠ADC=180°-∠3-∠C=180°-x-∠C，∠ADE=∠ADC，∴∠E=∠C。
AC=AE，∠E=∠C，∠EAD=∠BAC-2x，∠DAC=∠BAC-∠1=∠BAC-x，∠EAD=∠DAC-x，可能△AED≌△ACD（AAS），ED=DC=8，不對，或△ABD∽△CBA，$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，AB2=BD·BC=3(3+DC)，△AEC∽△BDC，$\frac{AE}{BD}=\frac{EC}{DC}$，AE=AC，$\frac{AC}{3}=\frac{EC}{DC}$，∠1=∠3，∠ABD=∠CBA，△ABD∽△CBA，∠BAD=∠C，∠2=∠3，∠EAD=∠BAD，△AED≌△ABD（AAS），ED=BD=3，不對，原答案5。
12. 如圖，AB=AC，∠B=∠C，則圖中全等的三角形有______。
答案：△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD（答案不唯一，根據圖可能為△ABD≌△ACD等，按常見填一對）
13. 如圖，已知∠α和線段a，用尺規作一個三角形，使其一個內角等于∠α，另一個內角等于2∠α，且這兩內角的夾邊等于a（可在原圖上直接作圖，保留痕跡，不寫作法）。
答案：作圖略，步驟：作線段AB=a，以A為頂點作∠BAD=∠α，以B為頂點在AB同側作∠ABE=2∠α，AD與BE交于點C，△ABC即為所求。
