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【題目】如圖，在菱形中，對角線和交于點，分別過點、作，，與交于點．

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）當，時，求的正切值．

在數學課上，老師提出如下問題：

如圖，已知，，用尺規作圖的方法在上取一點，使得.

作法：

（1）作線段的垂直平分線.

（2）直線交于點.

則點就是所求的點.

證明：連接

直線垂直平分線段

(填寫正確的依據)

.

解決下列問題：

（1）利用尺規作圖確定 點的位置；

（2）補全證明過程中的依據；

（3）如果題干無條件，在線段上點不一定存在，在請畫圖說明．

【題目】如圖，點為正六邊形對角線的交點，機器人置于該正六邊形的某頂點處.柱柱同學操控機器人以每秒個單位長度的速度在圖 1 中給出的線段路徑上運行，柱柱同學將機器人運行時間設為秒，機器人到點距離設為，得到函數圖象如圖 2.通過觀察函數圖象，可以得到下列推斷：①該正六邊形的邊長為；②當時，機器人一定位于點；③機器人一定經過點；④機器人一定經過點；其中正確的有_____．

【題目】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥，12周后，記錄了兩組患者的生理指標和的數據，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者；

同時記錄了服藥患者在4周、8周、12周后的指標z的改善情況，并繪制成條形統計圖．

根據以上信息，回答下列問題：

（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標的值大于1.7的概率；

（2）設這100名患者中服藥者指標數據的方差為，未服藥者指標數據的方差為，則 ；（填“>”、“=”或“<” ）

（3）對于指標z的改善情況，下列推斷合理的是 ．

①服藥4周后，超過一半的患者指標z沒有改善，說明此藥對指標z沒有太大作用；

②在服藥的12周內，隨著服藥時間的增長，對指標z的改善效果越來越明顯．

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點．

（1）求點的坐標（用含的式子表示）；

（2）求拋物線與軸的交點坐標；

（3）已知點，，如果拋物線與線段恰有一個公共點，結合函數圖象，求的取值范圍．

【題目】在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與直線交于點

（1）求k的值；

（2）已知點，過點P作垂直于x軸的直線，交直線于點B，交函數于點C．

①當時，判斷線段與的數量關系，并說明理由；

②若，結合圖象，直接寫出n的取值范圍．

小東同學發現：在點P由A運動到B的過程中，對于x1＝AP的每一個確定的值，θ＝∠QMP都有唯一確定的值與其對應，x1與θ的對應關系如表所示：

小蕓同學在讀書時，發現了另外一個函數：對于自變量x2在﹣2≤x2≤2范圍內的每一個值，都有唯一確定的角度θ與之對應，x2與θ的對應關系如圖2所示：

根據以上材料，回答問題：

（1）表格中α的值為　 　．

（2）如果令表格中x1所對應的θ的值與圖2中x2所對應的θ的值相等，可以在兩個變量x1與x2之間建立函數關系．

①在這個函數關系中，自變量是　 ，因變量是　 ；（分別填入x1和x2）

②請在網格中建立平面直角坐標系，并畫出這個函數的圖象；

③根據畫出的函數圖象，當AP＝3.5時，x2的值約為　 ．

【題目】生活垃圾分類回收是實現垃圾減量化和資源化的重要途徑和手段．為了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情況，隨機抽取該市2019年第二季度的天數據，整理后繪制成統計表進行分析．

表中組的頻率滿足．

下面有四個推斷：

①表中的值為20；

②表中的值可以為7；

③這天的日均可回收物回收量的中位數在組；

④這天的日均可回收物回收量的平均數不低于3．

所有合理推斷的序號是（ ）

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

根據圖表中提供的信息回答下列問題：

（1）統計表中的a＝________，b＝________；

（2）“陶藝制作”對應扇形的圓心角度數為________；

（3）若該校有學生2000人，請估算全校喜愛“智能機器人”的人數有多少？

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AD＝1，求BC的長；

（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．