Question

【題目】（1）問題發現：

如圖1，在和中，，，，連接，交于點.

填空：①的值為 ；②的度數為 .

（2）類比探究：如圖2，在和中，，，，連接交的延長線于點.請求出的值及的度數，并說明理由；

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將繞點在平面內旋轉，、所在直線交于點，若，，請直接寫出當點與點重合時的長.

Answer 1

【答案】（1）①1；②40°；（2），∠AMB=90°，理由見詳解；（3）AC的長為或．

【解析】

（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根據三角形的內角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=40°；

（2）根據兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則，由全等三角形的性質得∠AMB的度數；

（3）正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB=90°，，可得AC的長．

解：（1）問題發現

①如圖1，

∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠COA=∠DOB，

∵OC=OD，OA=OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC=BD，

∴，

②∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO=∠DBO，

∵∠AOB=40°，

∴∠OAB+∠ABO=140°，

在△AMB中，

∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）

=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）

=180°-140°=40°；

故答案為：①1；②40°；

（2）類比探究

如圖2，

，∠AMB=90°；

理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴，∠CAO=∠DBO，

在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；

（3）拓展延伸

①點C與點M重合時，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB=90°，，

設BD=x，則AC=，

Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，

∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

，

∴x2-x-6=0，

∴（x-3）（x+2）=0，

∴x1=3，x2=-2，

∴AC=；

②點C與點M重合時，如圖4，同理得：∠AMB=90°，，

設BD=x，則AC=，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

∴x2+x-6=0，

∴（x+3）（x-2）=0，

∴x1=-3，x2=2，

∴AC=；

綜上所述，AC的長為或．