Question

【題目】填空并解答相關問題：

（1）觀察下列數1，3，9，27，81…，發現從第二項開始，每一項除以前一項的結果是一個常數，這個常數是________；根據此規律，如果an （n為正整數）表示這列數的第n項，那么an =__________；

你能求出它們的和嗎？

計算方法：如果要求1+3+32+33+…+320的值，

可令S=1+3+32+33+…+320①

將①式兩邊同乘以3，得3S=3+32+33+…+320+321②

由②式左右兩邊分別減去①式左右兩邊，

得3S-S=（3+32+33+…+320+321）－（1+3+32+33+…+320），

即2S=321－1，兩邊同時除以2得.

（2）你能用類比的思想求1+6+62+63+…+6100的值嗎？寫出求解過程.

（3）你能用類比的思想求1+m+m2+m3+…+mn（其中mn≠0，m≠1）的值嗎？寫出求解過程.

Answer 1

【答案】(1) 3， an=；(2) ；(3) .

【解析】

(1) 從第二項開始，每一項除以前一項的結果是一個常數3，據此解答即可;

(2) 設可令S=1+6+62+63+…+6100，根據等式的性質，此等式的兩邊同時乘以6，得6S=6+62+63+…+6100+6101，兩等式相減得6S-S=6101-1，解關于S的方程可求解;

(3) 設可令S=1+m+m2+m3+…+mn，根據等式的性質，此等式的兩邊同時乘以m，得mS=m+m2+m3+…+ mn+mn+1，兩等式相減得(m-1)S=mn+1－1，解關于S的方程可求解．．

(1)從第二項開始，每一項除以前一項的結果是一個常數，這個常數是3， an=；

(2) 可令S=1+6+62+63+…+6100①

將①式兩邊同乘以6，得6S=6+62+63+…+6100+6101②

由②式左右兩邊分別減去①式左右兩邊，

得6S-S=（6+62+63+…+6100+3101）－（1+6+62+63+…+6100），

即5S=6101－1，兩邊同時除以6得.

(3) 可令S=1+m+m2+m3+…+mn①

將①式兩邊同乘以m，得mS=m+m2+m3+…+mn+mn+1②

由②式左右兩邊分別減去①式左右兩邊，

得mS-S=（m+m2+m3+…+mn+mn+1）－（1+m+m2+m3+…+mn），

即(m-1)S=mn+1－1，兩邊同時除以m得.