Question

【題目】在△ABC中，AC=BC，射線AP交邊BC于點E，點D是射線AP上一點，連接BD、CD .

（1）如圖1，當∠CAB=45°，∠BDP=90°時，請直接寫出DA與DB、DC之間滿足的數量關系為： ．

（2）如圖2，當∠CAB=30°，∠BDP=60°時，試猜想：DA與DB、DC之間具有怎樣的數量關系？并說明理由．

（3）如圖3，當∠ACB＝，∠BDP＝，若與之間滿足，則DA與DB、DC之間的數量關系為 ．（請直接寫出結論）

Answer 1

【答案】(1)；（2），證明見解析；（3）AD=BD+CD·Sin

【解析】（1）結論：AD＝BD＋CD．只要證明△ACM≌△BCD，推出CM＝CD，AM＝BD，推出△CDM是等腰直角三角形，推出DM＝CD，可得AD＝AM＋DM＝BD＋CD；

（2）如圖2中，結論∴AD＝BD＋CD．只要證明△ACM≌△BCD，推出CM＝CD，AM＝BD，作CH⊥DM于H，則MH＝DH＝CDcos30°＝CD，推出DM＝CD，可得AD＝AM＋DM＝BD+CD；

（3）如圖3中，結論：AD＝BD＋2CDcosα．證明方法類似．

（1）結論：AD＝BD＋CD．

理由：如圖1中，作CM⊥CD交AD于M．

∵∠ACE＝∠BDE＝90°，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAM＝∠CBD，

∵∠ACB＝∠MCD＝90°，

∴∠ACM＝∠BCD，

∵AC＝CB，

∴△ACM≌△BCD，

∴CM＝CD，AM＝BD，

∴△CDM是等腰直角三角形，

∴DM＝CD，

∴AD＝AM＋DM＝BD＋CD．

故答案為：AD＝BD＋CD．

（2）如圖2中，結論∴AD＝BD＋CD．

理由：如圖2中，作∠DCM＝∠ACB交AD于M．

∵∠ACE＝∠BDE＝120°，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAM＝∠CBD，

∵∠ACB＝∠MCD，

∴∠ACM＝∠BCD，

∵AC＝CB，

∴△ACM≌△BCD，

∴CM＝CD，AM＝BD，

作CH⊥DM于H，則MH＝DH＝CDcos30°＝CD，

∴DM＝CD，

∴AD＝AM＋DM＝BD＋CD；

（3）如圖3中，結論：AD＝BD＋2CDcosα．

理由：如圖3中，作∠DCM＝∠ACB交AD于M．

∵∠ACE＝∠BDE，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAM＝∠CBD，

∵∠ACB＝∠MCD，

∴∠ACM＝∠BCD，

∵AC＝CB，

∴△ACM≌△BCD，

∴CM＝CD，AM＝BD，

作CH⊥DM于H，則MH＝DH＝CDcosα，

∴DM＝2CDcosα，

∴AD＝AM＋DM＝BD＋2CDcosα．

故答案為：AD＝BD＋2CDcosα．