Question

24、已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，點O₁在⊙O₂上，C為⊙O₂上一點（不與A，B，O₁重合），直線CB與⊙O₁交于另一點D．
（1）如圖（1），若AD⊙O₁的直徑，AC是⊙O₂的直徑，求證：AC=CD；
（2）如圖（2），若C是⊙O₁外一點，求證：O₁C丄AD；
（3）如圖（3），若C是⊙O₁內的一點，判斷（2）中的結論足否成立．

Answer 1

分析：（1）連接AB，O₁O₂，得到O₁O₂⊥AB，根據AC是圓O₂的直徑，推出∠ABC=90°，得出O₁O₂∥BC，根據三角形的中位線定理推出∠ADC=∠DAC即可得出AC=DC；
（2）根據線段的垂直平分線定理得到C在AD的垂直平分線上、O₁在AD的垂直平分線上，即可得到答案；
（3）根據線段的垂直平分線定理得到C在AD的垂直平分線上、O₁在AD的垂直平分線上，進一步推出結論．

解答：（1）證明：連接AB，O₁O₂，
∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，
∴O₁O₂⊥AB，
∵AC是圓O₂的直徑，
連接C01
∵AC為⊙O2直徑
∴∠AO1C=90°
即CO1⊥AD，
∴AO1=DO1
∴△DQ1C≡△AQ1C
∴DC=AC
（2）證明：由（1）得：AC=DC，
∴C在AD的垂直平分線上，
∵O₁A=O₁D，
∴O₁在AD的垂直平分線上，
∴O₁C⊥AD；

（3）證明：C在弧O₁A上時
廷長O₁C交AD于F點；連接AO₁并廷長交O₁于E點；連接EB，AB
∵AE為直徑，所以∠EBA=90°
∴∠O₁EB+∠BAO₁=90°
在O₁中，劣弧AB所對的圓周角相等
∴∠ADB=∠O₁EB
在O₂中，劣弧O₁B所對的圓周角相等
∴∠BAO₁=∠BCO₁
又∵∠BCO₁=∠DCF
∴∠DCF=∠BAO₁
∴∠ADB+∠DCF=∠O₁EB+∠BAO₁=90°
∴∠CFD=90°
∴CO₁⊥AD．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及相交兩圓的性質，根據相交兩圓的連心線垂直平分兩圓公共弦，以及垂直平分線的性質是解決問題的關鍵．