Question

【題目】定義：如果將△ABC與△DEF各分割成兩個三角形，且△ABC所分的兩個三角形與△DEF所分的兩個三角形分別對應相似，那么稱△ABC與△DEF互為“近似三角形”，將每條分割線稱為“近似分割線”．

（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝30°，∠D＝40°，請判斷這兩個三角形是否互為“近似三角形”？如果是，請直接在圖1中畫出一組分割線，并注明分割后所得兩個小三角形銳角的度數；若不是，請說明理由．

（2）判斷下列命題是真命題還是假命題，若是真命題，請在括號內打“√”；若是假命題，請在括號內打“×”．

①任意兩個直角三角形都是互為“近似三角形”　 　；

②兩個“近似三角形”只有唯一的“近似分割線”　 　；

③如果兩個三角形中有一個角相等，那么這兩個三角形一定是互為“近似三角形”　 　．

（3）如圖2，已知△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°，且BC＝EF＝，判斷這兩個三角形是否互為“近似三角形”？如果是，請在圖2中畫出不同位置的“近似分割線”，并直接分別寫出“近似分割線”的和；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）這兩個三角形是互為“近似三角形”，圖形見解析；（2）√，×，×；（3）這兩個三角形是互為“近似三角形”， “近似分割線”的和為6+4或．

【解析】

（1）根據互為“近似三角形”即可得出結論；
（2）根據互為“近似三角形”的意義，判斷出是假命題，畫圖說明即可得出結論；
（3）如圖5，先判斷出△BCM≌△FEN（ASA），得出CM=FN，再構造出直角三角形，即可得出結論；
②如圖6，同（1）的方法即可得出結論．

解：（1）這兩個三角形是互為“近似三角形”，如圖1所示，

（2）①任意兩個直角三角形都是互為“近似三角形”，是真命題，如圖2所示，

②兩個“近似三角形”只有唯一的“近似分割線”，假命題，如圖3所示，

在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°；

③如果兩個三角形中有一個角相等，那么這兩個三角形一定是互為“近似三角形”，是假命題，

如圖4所示，一個頂角為20°的等腰三角形和底角為20°的等腰三角形；

，

故答案為：√，×，×；

（3）這兩個三角形是互為“近似三角形”，

①如圖5，

在△BCM和△FEN中，，

∴△BCM≌△FEN（ASA），

∴CM＝EN，FN=BM，

過點M作MH⊥BC于H，

在Rt△MHC中，設CH＝x，則MH＝x，CM＝2x，

在Rt△BHM中，BH＝MH＝x，

∵BC＝x+x＝，

∴x＝，

∴CM＝2，FN=BM=，

∴“近似分割線”的和為CM+FN＝；

②同①的方法得，△CBM≌FEN（ASA），

∴BM＝EN，

過點C作CH⊥BM于H，

在Rt△BHC中，BH＝CH＝＝1+，

在Rt△CHM中，CM＝2CH＝2+2，MH＝CH＝3+，

∴NE＝BM＝4+2，

∴“近似分割線”的和為CM+EN＝6+4，

即“近似分割線”的和為6+4或．