Question

【題目】已知：如圖， 是內一點， ， ， ， 分別是垂足，且．

（）求證：點在的平分線上．

（）若點是射線上一點，點是射線上一點，且， ．

①當是等腰三角形時，求點到射線的距離；

②連接， ， ，當的周長最小時，求的度數．

Answer 1

【答案】（）證明見解析；（）①或或；② ．

【解析】試題分析：（1）證明≌，根據全等三角形的對應角相等即可得；

（2）①分或或三種情況進行討論即可得；

②當為等邊三角形時， 周長最小，則．作點關于射線的對應點，關于射線的一應點，連結 ，則線段 與的交點為．與的交點為，連結， ， ，由兩點之間線段最短，可知周小.

試題解析：（1）在和中，有，

∴≌，

∴，

∴在的平分線上；

（2）①若是等腰三角形，則或或．

（Ⅰ）若，

∵，

∴，

∴．

又， ，

∴，

∴，

∴， ， 三點共線．

∴到的距離為；

（Ⅱ）若，過點作，垂足為，連結．

∵，則，

∴．

∴．

又，設，

則，

即．

在中， ，

∴．

在中， ，

∴；

（Ⅲ）若，同理可知．

綜上，點到射線的距離為或或；

②當為等邊三角形時， 周長最小，則．

作點關于射線的對應點，關于射線的一應點，連結 ，則線段 與的交點為．與的交點為，連結， ， ，由兩點之間線段最短，可知周小．

如圖所示：由軸對稱性質可得，

OP1=OP2=OP，∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，

所以∠P1OP2=2∠AOB=2×60°=120°，

所以∠OP1P2=∠OP2P1=（180°-120°）÷2=30°，

又因為∠FPO=∠OP1F=30°，∠GPO=∠OP2G=30°，

所以∠FPG=∠FPO+∠GPO=60°．