Question

【題目】在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所對的邊b，c滿足：b +c -4（b+c）+8=0.

（1）證明：△ABC是邊長為2的等邊三角形.
（2）若 b，c兩邊上的中線BD，CE交于點O，求OD：OB的值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ b2 +c2 -4（b+c）+8=0
∴ （b-2）2 +（c-2）2 =0
∵ （b-2）2 ≥0，（c-2）2 ≥0，
∴ （b-2）2 =（c-2）2 =0
∴ b=c=2
∵ ∠A=60°
∴ △ABC是邊長為2的等邊三角形

（2）解：∵ AB=BC且BD是AC邊上的中線

∴ BD⊥AC，∠DBC= ∠ABC=30°

同理∠ECB=∠ECA=30°

∴ ∠DBC=∠ECB

∴ OB=OC

由已知：BD⊥AC，∠ECA=30°，OB=OC，

∴ OB=OC=2OD

∴ OD：OB=1：2

【解析】 (1)將 b 2 +c 2 -4（b+c）+8=0變形成（b-2） 2 +（c-2） 2 =0 ，根據平方的非負性知幾個非負數的和等于0，則這幾個數都等于零，得出兩個一元一次方程，求解得出a,b的值，根據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形得出結論；
（2）根據等腰三角形的三線合一得出 BD⊥AC，∠DBC= ∠ABC=30°，同理∠ECB=∠ECA=30°，故 ∠DBC=∠ECB，根據等角對等邊得出OB=OC，根據含30的直角三角形的邊之間的關系得出OB=OC=2OD，從而得出 OD：OB=1：2。

【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和等邊三角形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．