Question

如圖，在平面直角坐標系中，動點P、Q同時從原點O出發，點P沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，點Q沿y軸正方向以每秒3個單位長度的速度運動．過點P作x軸的垂線，分別交直線y=x+2、y=-x+1于C、D兩點．分別以OQ、CD為邊向右作正方形OQAB和正方形CDEF．
（1）當t為何值時，正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等．
（2）設正方形OQAB與正方形CDEF的重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．
（3）運動過程中，使△AEF為等腰三角形的不同t值有

4

個．

Answer 1

分析：（1）設點P坐標為（t，0）．根據正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等時CD=OQ，依此得到關于t的方程，解方程即可求解；
（2）當點C在線段AQ上時，求得t=

1

4

．再分①當0＜t≤

1

4

時；②當

1

4

＜t≤1時；③當t＞1時；三種情況討論可得S與t的函數關系式；
（3）△AEF為等腰三角形，則AE=AF或AE=EF或AF=EF，依此可得使△AEF為等腰三角形的不同t值，從而求解．

解答：解：（1）設點P坐標為（t，0）．
當x_C=t時，y_C=-t+1，
當x_D=t時，y_D=t+2，
∴CD=y_D-y_C=（t+2）-（-t+1）=2t+1，
∵OQ=3t
∴當正方形OQAB與正方形CDEF的面積相等時，CD=OQ
∴2t+1=3t，
解得t=1；
      
（2）當點C在線段AQ上時，y_Q=3t，y_C=-t+1，
∴3t=-t+1
解得t=

1

4

．
①當0＜t≤

1

4

時，S=0；
②當

1

4

＜t≤1時，S=[（2t+1）-（t+2-3t）]（3t-t）=8t²-2t；
③當t＞1時，S=（t+2）（3t-t）=2t²+4t．

（3）t有4個值，分別為

1

2

、

1

3

、

3+ 6

6

、

3- 6

6

．
設t秒的時候P的坐標為（a，0），那么可以得出Q（0，3a）．
那么A點坐標為（3a，3a）．
把P點橫坐標代入y=-x+1，y=x+2，
則C，D點的坐標分別是（a，-a+1）（a，a+2）
正方形CDEF邊長CD為2a+1，
那么DE=EF=CD=2a+1．
則E，F點橫坐標分別是a+2a+1=3a+1，
則E（3a+1，a+2），F（3a+1，-a+1）
△AEF為等腰三角形，則AE=AF或AE=EF或AF=EF
AE=AF，即AE²=AF²，
由勾股定理可得
1²+（2a-2）²=1²+（4a-1）²且a＞0
解得a=

1

2

，
同理可得a=

1

3

，a=

3+ 6

6

，a=

3- 6

6

．
綜上所述t=a=

1

2

或

1

3

或

3+ 6

6

或

3- 6

6

，共4個．
故答案為：4．

點評：此題主要考查了動點函數問題，其中應用到了等腰三角形的性質、正方形及勾股定理的性質，分類思想的運用，鍛煉了學生運用綜合知識解答題目的能力．