Question

【題目】已知關于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，

（1）求證：無論m取何值時，方程總有實數根；

（2）若等腰三角形腰長為4，另兩邊恰好是此方程的根，求此三角形的另外兩條邊長.

Answer 1

【答案】證明見解析 4和2

【解析】

(1)根據方程的系數結合根的判別式即可得出△＝(m－3)2≥0，由此即可證出結論；(2)由等腰三角形的性質可知b＝c或b、c中有一個為4，①當b＝c時，根據根的判別式△＝(m－3)2＝0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據三角形的三邊關系即可得出該種情況不合適；②當方程的一根為4時，將x＝4代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據三角形的三邊關系確定△ABC的三條邊，結合三角形的周長即可得出結論.

（1）證明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0，

∴無論m取何值，這個方程總有實數根；

（2）若腰長為4，將x=4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）=0，

解得：m=5，

∴原方程為x2﹣6x+8=0，

解得：x1=2，x2=4．

組成三角形的三邊長度為2、4、4；

若底邊長為4，則此方程有兩個相等實數根，

∴△=0，即m=3，

此時方程為x2﹣4x+4=0，

解得：x1=x2=2，

由于2+2=4，不能構成三角形，舍去；

所以三角形另外兩邊長度為4和2．