Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=10，AB=8，點P在AD上，且BP=BC，點M在線段BP上，點N在線段BC的延長線上，且MP=NC，連接MN交線段PC于點F，過點M作ME⊥PC于點E，則EF= _______.

Answer 1

【答案】

【解析】

過點M作MH∥BC交CP于H，根據兩直線平行，同位角相等可得∠MHP=∠BCP，兩直線平行，內錯角相等可得∠NCF=∠MHF，根據等邊對等角可得∠BCP=∠BPC，然后求出∠BPC=∠MHP，根據等角對等邊可得PM=MH，根據等腰三角形三線合一的性質可得PE=EH，利用“角邊角”證明△NCF和△MHF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=FH，從而求出EF=CP，根據矩形的對邊相等可得BC=AD=10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式計算即可求出CP，從而得解．

如圖,過點M作MH∥BC交CP于H，

則∠MHP=∠BCP，∠NCF=∠MHF，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BPC=∠MHP，
∴PM=MH，
∵PM=CN，
∴CN=MH，
∵ME⊥CP,
∴PE=EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF(AAS)，
∴CF=FH，
∴EF=EH+FH=CP，
∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=AD=10，
∴BP=BC=10，
在Rt△ABP中,AP===6，
∴PD=ADAP=106=4，
在Rt△CPD中,CP===，
∴EF=CP=×=.
故答案為：.