Question

【題目】設二次函數，一次函數，若方程的兩根是，．

（1）求b、c的值；

（2）當x滿足時，比較與x的大小并說明理由；

（3）設點M的坐標是，點P是拋物線上的一個動點，當點P到點M的距離與到直線的距離之和最小時，請直接寫出點P坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=0，c=；（2）y1＜x，理由見解析；（3）（2，2）

【解析】

（1）先把點（1，1），（2，2）的坐標分別代入拋物線解析式得到b，c的方程組，解方程組求出b，c的值即可；

（2）由于y1-x=，由1＜x＜2可得y1-x＜0，從而求解；

（3）先根據勾股定理及其逆定理證明△OP2M是直角三角形，然后可證P在直線與拋物線兩交點之間的P2處時，點P到點M的距離與到直線的距離之和最小．

解：（1）∵方程的兩根是，，

∴兩交點坐標為（1，1），（2，2），

∴，

解得b=0，c=；

（2）y1-x=，

當1＜x＜2時，y1-x＜0，

所以y1＜x；

（3）由題知，拋物線與直線的兩個交點坐標為P1（1，1）、P2（2，2），

∵OM=4，OP2=， MP2=，

∴OP22+MP22=OM2，

∴△OP2M是直角三角形，

∴∠OP2M=90°，

∴MP2⊥直線y2=x，

∴MP2到直線y2=x的距離最短，

又∵P到y2=x的距離是0，

∴當P點坐標是（2，2）時，P到M的距離與到直線y2=x距離之和最小，

即所求P點坐標是（2，2）．