Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，D是AB中點，一個以點D為頂點的60°角繞點D旋轉，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E，F，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．

（1）如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF；

（2）如圖2，在∠EDF繞點D旋轉的過程中：

①探究三條線段AC，CE，CF之間的數量關系，并說明理由；

②若CE＝9，CF＝4，求CN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①見解析②

【解析】

（1）證明△DCE≌△DCF（SAS），即可解決問題．

（2）①證明△CDF∽△CED，可得，即CD2=CECF，再證明AC=2CD即可解決問題．

②作DK∥AE交BC于K．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，連接CD．

∵∠ACB=120°，AC=BC，AD=BD，

∴∠BCD=∠ACD=60°，∠BCE=∠ACF=60°．

∴∠DCE=∠DCF=120°．

又∵CE=CF，CD=CD，

∴△DCE≌△DCF（SAS），

∴DE=DF；

（2）①如圖2中，連接CD．

∵∠DCF=∠DCE=120°，

∴∠CDF+∠F=180°-120°=60°．

又∵∠CDF+∠CDE=60°，∴∠F=∠CDE．

∴△CDF∽△CED，

∴，即CD2=CECF．

∵∠ACB=120°，AC=BC，AD=BD，

∴CD=AC．

∴AC2=4CECF．

②作DK∥AE交BC于K．

∵AC2=4CECF=144，

∴AC=BC=12，

∵AD=BD．DK∥AC，

∴CK=KB=6，

∴DK=AC=6，

∵ ，

∴CN=CK=．