Question

7．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離為1．

Answer 1

分析 根據題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離，根據題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出DB與FB的長，以及CG與CE的長，由BC-BF-CG求出FG的長，求出等邊三角形NFG的高，即可確定出點P到BC的最小距離．

解答 解：根據題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，
當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；
根據題意得：BC=AB=$\frac{4}{sin60°}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，△NFG與△MDE都為等邊三角形，
∴DB=BF=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CE=CG=$\frac{2}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴FG=BC-BF-CG=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴NH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$FG=1，即點P到BC的最小距離是1；
故答案為：1．

點評 此題考查了等邊三角形的性質，以及平行線間的距離，作出相應的圖形是解本題的關鍵．