Question

【題目】請閱讀下列材料：
問題：如圖1，點A，B在直線l的同側，在直線l上找一點P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如圖2所示，先作點A關于直線l的對稱點A′，使點A′，B分別位于直線l的兩側，再連接A′B，根據“兩點之間線段最短”可知A′B與直線l的交點P即為所求．
請你參考小明同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）如圖3，在圖2的基礎上，設AA'與直線l的交點為C，過點B作BD⊥l，垂足為D．若CP=1，AC=1，PD=2，直接寫出AP+BP的值；
（2）將（1）中的條件“AC=1”去掉，換成“BD=4﹣AC”，其它條件不變，直接寫出此時AP+BP的值；
（3）請結合圖形，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，

∴PA= ，

∴PA′=PA= ，

∵AA′∥BD，

∴∠A′=∠B，

∵∠A′PC=∠BPD，

∴△A′PC∽△BPD，

∴ ，

∴ ，

∴PB=2 ，

∴AP+PB= +2 =3 ；

故答案為3 ；

（2）解：作AE∥l，交BD的延長線于E，如圖3，

則四邊形A′EDC是矩形，

∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，

∵BD=4﹣AC，

∴BD+AC=BD+DE=4，

即BE=4，

在RT△A′BE中，A′B= =5，

∴AP+BP=5，

故答案為5；

（3）解：設AC=1，CP=m﹣3，

∵A A′⊥L于點C，

∴AP= ，

設BD=2，DP=9﹣m，

∵BD⊥L于點D，

∴BP= ，

∴ 的最小值即為A′B的長．

即：A′B= 的最小值．

如圖，過A′作A′E⊥BD的延長線于點E．

∵A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6，BE=BD+DE=2+1=3，

∴A′B= 的最小值

=

= ，

∴ 的最小值為 ．

【解析】 （1）根據等腰直角三角形知PA= ，根據軸對稱性知PA′=PA，根據平行線的性質知∠A′=∠B，又∠A′PC=∠BPD，從而判斷出△A′PC∽△BPD，根據相似三角形對應邊成比例就可以求出PB的長，從而算出AP+BP；
（2）作AE∥l，交BD的延長線于E，根據題意可以判斷出四邊形A′EDC是矩形，根據矩形的性質得出AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，從而得出BD+AC=BD+DE=4，在RT△A′BE中，利用勾股定理算出A′B的長，從而得出AP+BP的值；
（1）設AC=1，CP=m﹣3，因A A′⊥L于點C，由勾股定理得出AP的值，設BD=2，DP=9﹣m，因BD⊥L于點D，由勾股定理得出BP的值，根據A′B=AP+BP的最小值，過A′作A′E⊥BD的延長線于點E．A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6，BE=BD+DE=2+1=3，A′B=，從而得出答案。