Question

【題目】如圖，頂點為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線y=(x＞0)經過點D，連接MD，BD．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點N，F分別是x軸，y軸上的兩點，當以M，D，N，F為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F的坐標；

（3）動點P從點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，∠BPD的度數最大？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(，0)，F(0，)；（3）t=9﹣2．

【解析】

（1）由已知求出D點坐標，將點A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；

（2）作M關于y軸的對稱點M'，作D關于x軸的對稱點D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點N、F，則以M，D，N，F為頂點的四邊形周長最小即為M'D'+MD的長；

（3）設P（0，t），作△PBD的外接圓N，當⊙N與y軸相切時，∠BPD的度數最大；

解；（1）C(0，3)

∵CD⊥y，

∴D點縱坐標是3．

∵D在y=上，

∴D(2，3)，

將點A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，

∴a=﹣1，b=2，

∴y=﹣x2+2x+3；

（2）M(1，4)，B(3，0)，

作M關于y軸的對稱點M'，作D關于x軸的對稱點D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點N、F，

則以M，D，N，F為頂點的四邊形周長最小即為M'D'+MD的長；

∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，

∴M'D'直線的解析式為y=﹣x+，

∴N(，0)，F(0，)；

（3）設P(0，t)．

∵△PBO和△CDP都是直角三角形，

tan∠CDP=，tan∠PBO=，

令y=tan∠BPD=，

∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，

△=﹣15y2+30y+1=0時，

y=(舍)或y=，

∴t=﹣×，

∴t=9﹣2，

∴P(0，9﹣2)．