Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且AC=CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若 ，求∠E的度數．
（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD= ，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，

∵AC=CG，

∴ ，

∴∠ABC=∠CBG，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OCB=∠CBG，

∴OC//BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵OC//BD，

∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，

∴ ，

∴ ，

∵OA=OB，

∴AE=OA=OB，

∴OC= OE，

∵∠ECO=90°，

∴∠E=30°

（3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H，

∵∠E=30°

∴∠EBD=60°，

∴∠CBD= EBD=30°，

∵CD= ，

∴BD=3，DE=3 ，BE=6，

∴AE= BE=2，

∴AH=1，

∴EH= ，

∴DH=2 ，

在Rt△DAH中，AD= = = ．

【解析】（1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據平行線的判定得到OC//BG，即可得到結論；（2）由OC//BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到 ， ，根據直角三角形的性質即可得到結論；（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3 ，BE=6，在Rt△DAH中，AD= = = ．